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Transvection

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Une transvection est une transformation géométrique.

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Transvection vectorielle

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Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).

  • On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) – x appartient à H)[1].
  • Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)2 = 0.
  • Condition équivalente 2[2] : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x) = x + h(x)u.

Les transvections sont bijectives (f−1(x) = x – h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif Hu de H, faire correspondre la transvection xx + h(x)u).

Matrice de transvection

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Dans une base de E contenant une base de H dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D, la transvection a pour matrice une matrice du type

avec i ≠ j, la matrice Ei,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices In + λEi,j sont appelées matrices élémentaires de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SLn(K).

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

  • Illustration
    La transvection associée à la matrice ,illustrée ci-contre. Dans R², considérons u définie par u: X=(x,y)→(x+2y,y)=(x,y)+y(2,0)=X+g(X)c où g:X=(x,y)→y est une forme linéaire et c=(2,0). u est la transvection d'hyperplan l'axe des abscisses et de droite l'axe des abscisses. On retrouve la forme (condition équivalente n°2 ) proposée dans la définition générale.
  • Les transvections utilisées pour définir la courbe de Takagi.

Transvection affine

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Une transvection d'un espace affine E est soit l'identité, soit une application affine de E dans E dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan H de E (base de la transvection) et telle que pour tout point M le vecteur reste parallèle à H. Les vecteurs forment alors une droite vectorielle (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points A et A' tels que la droite (AA') est parallèle à un hyperplan H, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H envoyant A sur A'  ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction de la figure ci-contre.

Transvection projective

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Si l'on plonge l'espace affine E dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H' , on sait que l'on peut munir le complémentaire E' de l'hyperplan H d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H dans E deviennent parallèles dans E' et celles qui sont parallèles dans E deviennent sécantes en un point de H' ).

À toute transvection d'hyperplan H de E est alors associée une application affine de E' qui n'est autre qu'une translation.

Les transvections sont donc en fait des « translations en perspective ».[réf. nécessaire] Si l'on regarde par avion une translation[Interprétation personnelle ?] de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection (cf figure ci-contre).

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H et H' à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Transvection euclidienne

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Soit f une transvection d'un espace euclidien, un vecteur normal et normé de sa base et D sa direction de vecteur directeur normé .

Avec les notations ci-contre, on a

Le nombre λ est alors le coefficient de la transvection, et son angle θ est défini par tan θ = λ.

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

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Plongeons l'espace euclidien En de dimension n comme hyperplan d'un espace En+1 de dimension n+1 et faisons tourner En autour de son hyperplan H, de façon à en obtenir une copie .

Tout point M de En a une copie dans , donc aussi l'image M' de M par une transvection de base H.

On montre que la droite garde une direction fixe D, ce qui montre que s'obtient par projection de M dans En+1 (projection de base et de direction D)[3].

Notes et références

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  1. « Exercice », sur perso.univ-rennes1.fr/marie-pierre.lebaud/agint/.
  2. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géometrie élémentaire, Hermann, (OCLC 602892060), chap. III, paragraphe 3, exercice 6.
  3. Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998