Wess-Zumino-Witten模型

理論物理 與 數學中， Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型, 又稱Wess-Zumino-Novikov-Witten model, 乃一簡單之 共型場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自 Julius Wess、Bruno Zumino、Sergei P. Novikov 與 Edward Witten.

作用

設G為 緊緻 單連通 李羣 ，設 g為其 李代數。設 γ 為黎曼球面$S^{2}$（複平面之一點緊緻化）上一G-值場

WZW 模型是γ 所定義之 非線性 sigma 模型，其 物理為

$S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )$；

其中首項為量子場論中常見之動量項，重覆指標相加，度量為歐幾里得度量，， ${\mathcal {K}}$ 為g上之 Killing 二次式 而$\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ 為 偏導數。

S^WZ 項人稱 Wess-Zumino 項， 其定義為

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)$

其中 [,] 為交換子，$\epsilon ^{ijk}$ 為 完全反對稱張量， 'i=1,2,3 ，$y^{i}$為積分座標，取值於 單位球 $B^{3}$。 在此積分中，場 γ 被延拓至單位球之內部－－此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣 $\pi _{2}(G)$俱為零（ γ 已於球面上定義）。

拉回

注意：若 $e_{a}$ 為李代數g之基向量，則${\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])$ 為g 之 結構常數。 結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上之三次微分式 。故上述積分實為球$B^{3}$上之三次調和式之 拉回。記此三次式為 c、其拉回為 $\gamma ^{*}$, 則吾人有

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c$

自此吾人可之拓撲方法分析 WZ-項。

拓撲障礙

γ 有多種延拓至球$B^{3}K$之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數k需符合以下「量子條件」：

• 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 $S^{2}$黏起此兩個三維球，則成一三維球面$S^{3}$；其中每一三維半球面來自一$B^{3}$。 γ 之兩種延拓則成為一影射： $S^{3}\rightarrow G$。然而，任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

$\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ 。故

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n$

其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， n為一整數－－黏合後之影射之 纏繞數 。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若

$\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)$

是故， 耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階(level)。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。 當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之么正最高權表示，而其最高權為dominant integral. 此等表示是可積表示。

吾人亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。 Juan Maldacena 與 Hirosi Ooguri 以此描述三維反 de sitter 空間上之 弦理論 。 此時 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

推廣

上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。吾人亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

References

• J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
• E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
• V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras