逆威沙特分布参数 |
自由度 (實數)
尺度矩陣 (正定) |
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值域 |
是正定的 |
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概率密度函数 |
![{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|B\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Foqs3zNnDota5ytzAajw1otw0z2hBzjGPoNBEzDzAngi0zAdDatK4) |
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期望值 |
![{\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DnqdAztoNz2dFnjK5o2zAo2hDnjGNyga0agiNntdFz2i2aAhAajrE) |
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眾數 |
[1]:406 |
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逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数,定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中,逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。
如果一个正定矩阵
的逆矩阵
遵从威沙特分布
的话,那么就说矩阵
遵从逆威沙特分布:
![{\displaystyle \mathbf {B} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80aNiQaNs0nti1ngzEaNBDaDhFzjsQa2oNaqa1oqa5ztC5zDvByjsQ)
逆威沙特分布的概率密度函数是:
![{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nDo3ntw4nDaQyjo3ntoQa2wNytlFaDnCnDnDzgdCytlDzAzCzDzF)
其中
和
都是
的正定矩阵,而Γp(·) 则是多变量伽马分布。函数
![{\displaystyle \mathrm {trace} \;:\quad \mathbf {M} \quad \rightarrow \quad \mathrm {trace} (\mathbf {M} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84otoQzjvAyjJDztm4agnEaAo3atrDagrDatBFntvCz2w3ytzAoNBB)
指的是迹函数。
设矩阵
并且
是
的矩阵,那么
遵从逆威沙特分布:
。它的概率密度函数是:
![{\displaystyle p(\mathbf {B} |\mathbf {\Psi } ,m)={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}\exp \left({-\mathrm {tr} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}\right)}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zArCoqvCata0ygiQzDi4zjhEyjnAagw0yqrAnjKPajlCoDw3nDi1)
其中
,而
是多变量伽马分布[2]。
设矩阵
遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵
和
都有相适合的分块矩阵表示方式:
![{\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnAhCage1agsOajoNnti5ajC1ajsOzjm5njzCnDaOzge4ngzEygvE)
其中子矩阵
和
是
的矩阵,那么会有:
甲)
和
与
相互独立,其中
是子矩阵
在
中的舒尔补。
乙)
;
丙)
,其中
是矩阵正态分布。
丁)
假设要求先验分布
为逆威沙特分布
的协方差矩阵
。如果观测值
是从互相独立的 p-变量正态分布
的随机变量得到的,那么条件分布
遵从的是逆威沙特分布:
。其中
是样本协方差矩阵的
倍。
因此,逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。
期望值:[2]:85
![{\displaystyle E(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzDlBnAwNzDrCzqa5zgi4otiOoqiQyjsNaqoQngaPajm1njzAnjmN)
矩阵
的每一个系数的方差:
![{\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ij})={\frac {(m-p+1)\psi _{ij}^{2}+(m-p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(m-p)(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dyqe1aAaNoDePoti4yjsQytw1ntvAzjG5agnCyqnFatGNageQnDBA)
对角系数的方差是在上式中令
得到,化简后变成:
![{\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CaAhDzqdFaqe5zAvDajzBntGQzDKNagnDzjoOz2nDatK3nqa3nti0)
当变量数目减到一个的时候,逆威沙特分布会变成特例:逆伽马分布。也就是说,当
、
、
以及
的时候,逆威沙特分布的概率密度函数是:
![{\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zNnFntsOoDaQztnBnjwQnDzDoDKNoqnCoNC4zjG0nji1zjnBoAe1)
这正是逆伽马分布。其中
是通常的伽马函数。
而逆威沙特分布也有推广,其中一个是正态逆威沙特分布。