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焦散 (光学)

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装满水的玻璃杯产生的焦散现象

光学中,焦散现象(caustic[1])是被弯曲的面或物体反射折射后,出现光线包络,或包络在另一面上的射影[2]焦散现象会形成焦散线或焦散,每条光线都与之相切[2]如右图所示,可见明显的焦散线。这些形状通常有尖点

茶杯底部的肾形焦散线
水面造成的焦散线
浅水中的焦散线

解释

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射线经过非平面折射后,在许多光线交叉的地方会形成焦散线。

集中的光线(如阳光)会灼伤人。“焦散”(caustic)一词来自希腊语καυστός“烧焦”,途经拉丁语causticus“燃烧”。

光线照射在酒杯上时,就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影,也会产生弯曲的亮区。在理想情况下(包括平行光射入时)会产生肾形光斑。[3][4]光线穿过波浪照射在水体上时,通常会形成波纹状的焦散线。

彩虹是人们熟悉的另一种焦散现象。[5][6]雨滴对光的散射会使不同波长的光折射成半径不同的弧线,从而产生彩虹。

计算机制图

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计算机图形学中,大多数现代渲染系统都支持焦散效果,其中有些甚至还支持立体焦散。这是通过光线追踪光束的可能路径,并考虑折射与反射实现的;光子映射是其中一种实现方式。立体焦散也可以由体积路径跟踪实现。一些计算机图形系统采用“正向光追”技术,将光子模拟为来自光源,按照规则在环境中反弹。在有足够光子照射到表面的区域,就会形成焦散,使其比平均区域更亮。“反向光追”则是以相反方式工作,从表面开始,确定是否有通向光源的路径。[7]这里页面存档备份,存于互联网档案馆)可见一些三维光追焦散的例子。

大多数计算机图形系统的重点在美学而非物理上精确,这在电脑游戏的实时渲染中尤为明显[8],游戏中大多使用预先算好的材质

焦散工程

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焦散工程描述的是解决计算机图形学逆问题的过程。即,在给定图像的前提下,确定折射或反射光形成图像的表面。

在这问题的离散版本中,表面会被分为若干微表面,假定是光滑的,即每片微表面反射/折射的光线形成高斯焦散。这意味着,每个微表面都服从高斯分布。每块微表面的位置与方向由泊松积分模拟退火相结合的方法得到。[9]

解决连续问题的方法多种多样,如利用运输理论中所谓最优运输(optimal transport)的思想[10]寻找入射光与目标表面之间的映射。获得这种映射后,利用斯涅尔定律反复调整,从而优化表面。[11][12]

基于最优运输的焦散图案设计

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基本原理

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控制焦散图案是相当具有挑战性的问题,因为表面的微小变化会严重影响图案质量:光线方向在与材料反射/折射时可能会受到其他光线的干扰。这将导致图案离散、不连续。为了解决这个问题,基于最优运输的方法是现有的建议方法之一,它可以在光线穿过某种透明材料表面传播时改变光线方向,从而控制焦散图案。[13][14]给定物体/图案的参考图像,目标是描述光线折射通过的材料表面,并汇聚到参考图像的类似图案。具体方法是重新排列/重新计算初始光强,直到得到优化问题的最小值。

设计管线

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这里进考虑折射焦散,对象可按如下方式确定(不同输出的反射焦散也有类似原理):

输入: 给定光源位置,灯光通过材料传播后获得的图案图像。

输出: 接收面(平坦的固体表面,例如:地板、墙壁等)上的焦散图形。

为实现目标图案,须将光线射向外部环境的表面加工成一定形状,以便在另一面实现所需的图案。

如上述,在输入图像的情况下,该过程将产生类似的焦散图案作为输出。原则上,有两个核心阶段,又分成两个子阶段:

  • 基于最优运输的焦散设计
    解最优运输问题
    1. 计算目标光分布
    2. 计算从初始分布到目标分布的映射
  • 优化目标表面
    1. 计算表面的法线表示
    2. 表面细化

解最优运输问题

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在透明表面发生折射的情况下,例如在清澈水面下出现的图案,可以观察到3种主要现象:

  • 非常亮(凝聚光强)的点(所谓奇点
  • 连接各点的曲线状对象
  • 光强度较低的区域

未进行计算,我们引入以下3个量来描述图案的几何特征:点奇异性(度量某些高度集中的点的光强)、线奇异性(度量某些较亮曲线附近的光强)、辐照度(测量某个光照不集中区域的强度)。把它们放在一起,下面的函数就定义了目标表面上某一部分Ω的总辐射功率

这步之后,就有了两个辐射通量测量值,分别是辐射源(由初始化均匀分布)与目标(上一步计算)。剩下要计算的是从源到目标的映射。为此要先定义几个量,首先是两个由概率取值的光强:(用除以之间联合区域的通量)、(用除以之间联合区域的通量)。其次,由多个点生成原网格,之后再变形。接着,在这组点上定义power图(一组power元),由权向量加权。最后,我们的目标是决定要移动哪些power元。考虑面上所有个顶点,找到以下凸函数的最小值,就可得到目标的匹配power图:

优化目标面

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计算过程

在解出最优运输问题后,就得到了顶点。不过,这并没有提供最终表面形状的信息。给定入射光、出射光及上一步所得的power图,根据斯涅尔定律可算出曲面法线:

其中

折射系数
:解上述最优运输问题所得目标位置

得到法线表示后,通过最小化以下复合能量函数,实现表面细化:

其中

是将最优运输所得顶点法线与斯涅尔定律计算所得目标法线对齐,所得的积分能量。
:最优传输所得网格无法适应不连续面的尖点,这一项用于惩罚这种点,使其不会随入射光发生显著变化。
是经过网格中三角形的能量通量。
是使三角形形状规则化、保持形状良好的能量。
是屏障能量,用于确保曲面变形不会超过一定距离的阈值

可变逆渲染焦散图样设计

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基本原理

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逆图形学是一种观察图像数据、推断所有可能属性(如三维几何、光照、材料与运动)生成逼真图像的方法。[15]传统计算机图形学中,为使图像具有理想的外观和效果,要赋予图像所有相关属性/特征,这可以说是前向方法;而在焦散设计中,物体(尤其材料表面)的性质并不平凡。给定约束条件就是要获得的目标图像。因此,目标是通过观察、推断目标图像,以获得其性质。这可以视作反向方法。

下面是基本损失函数,解释了如何优化参数:

其中

:损失函数,渲染图像与目标的均方误差
c:包含可能影响生成图像的元素
I:目标图像

管线设计

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可变逆渲染焦散设计

首先,设计目标图案并计算前向传递,得到合成图样。然后与目标图案比较,得到损失。 这是让合成图案尽可能与目标图案相似。然后进行反向传播,以获得焦散制造中所需的优化属性。

生成图像的元素

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  • 外观(Appearance,):像素表面外观建模为MipMap纹理与像素亮度之积。
  • 几何(Vertices,):假定三维场景由三角形近似,参数为顶点
  • 摄像机(Camera,):焦距、视点、摄像机中心。

还可以有更多元素,如反照率折射率之类。

一般可变框架

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引入U为中间变量,表示2维投影的顶点坐标。这些属性的梯度可从链式法则推导出:

应用随机梯度下降后,可得最优的。随后,这些量将用于雕刻或铣削材料,以生成目标图案。

方法

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一种常见方法是利用各种深度学习自动微分框架/库(如TensorFlowPyTorchTheano)中执行微分运算的能力。

还有一种方法是用OpenDR[16]框架建立前向图形模型,并自动获取模型参数的导数,以进行优化。在获得优化属性后,就可以生成目标图像。OpenDR提供的局部优化方法可纳入概率编程框架,可以解决焦散问题。

制造

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设计与制造过程

计算设计出焦散图样后,处理过的数据将用作机械加工

根据所需质量、制造所需工作量和可用的制造方法,可以用各种材料。

Architecture

焦散图样设计有很多应用,如

  • 灯具
  • 珠宝
  • 建筑
  • 装饰玻璃生产

另见

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参考文献

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  1. ^ Lynch, DK; Livingston, W. The caustic network. Color and Light in Nature. Cambridge University Press. 2001. ISBN 978-0-521-77504-5. 
  2. ^ 2.0 2.1 Weinstein, Lev Albertovich. Open Resonators and Open Waveguides. Boulder, Colorado: The Golem Press. 1969. 
  3. ^ Circle Catacaustic页面存档备份,存于互联网档案馆). Wolfram MathWorld. Retrieved 2009-07-17.
  4. ^ Levi, Mark. Focusing on Nephroids. SIAM News. 2018-04-02 [2018-06-01]. (原始内容存档于2023-06-27). 
  5. ^ Rainbow caustics. [2024-01-09]. (原始内容存档于2013-04-19). 
  6. ^ Caustic fringes. [2024-01-09]. (原始内容存档于2012-06-12). 
  7. ^ Guardado, Juan. Chapter 2. Rendering Water Caustics. Fernando, Randima (编). GPU Gems: Programming Techniques, Tips and Tricks for Real-Time Graphics. Addison-Wesley. 2004 [2024-01-09]. ISBN 978-0321228321. (原始内容存档于2019-10-30). 
  8. ^ Caustics water texturing using Unity 3D. Dual Heights Software. [2017-05-28]. (原始内容存档于2023-10-13). 
  9. ^ Marios Papas. Goal Based Caustics (PDF). Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics). 2011-04, 30 (2). doi:10.1111/j.1467-8659.2011.01876.x. (原始内容存档 (PDF)于2021-05-11).  (Additional resources at Wojciech Jarosz's Dartmouth University site页面存档备份,存于互联网档案馆))
  10. ^ Villani, Cedric. Optimal Transport - Old and New. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. ISBN 978-3-540-71049-3. 
  11. ^ Philip Ball. Light tamers. New Scientist. 2013-02, 217 (2902): 40–43. Bibcode:2013NewSc.217...40B. doi:10.1016/S0262-4079(13)60310-3. 
  12. ^ Choreographing light: New algorithm controls light patterns called 'caustics', organizes them into coherent images. [2024-01-09]. (原始内容存档于2023-07-17). 
  13. ^ Schwartzburg, Yuliy; Testuz, Romain; Tagliasacchi, Andrea; Pauly, Mark. High-contrast computational caustic design. ACM Transactions on Graphics. 2014-07-27, 33 (4): 1–11 [2024-01-09]. doi:10.1145/2601097.2601200. (原始内容存档于2022-07-07). 
  14. ^ Cédric, Villani. Optimal Transport, Old and New. Springer. 2009. ISBN 978-3-540-71050-9. 
  15. ^ Loper, Matthew M.; Black, Michael J., OpenDR: An Approximate Differentiable Renderer, Computer Vision – ECCV 2014 (Springer International Publishing), 2014: 154–169, ISBN 978-3-319-10583-3, doi:10.1007/978-3-319-10584-0_11可免费查阅 
  16. ^ Loper, Matthew M.; Black, Michael J., OpenDR: An Approximate Differentiable Renderer, Computer Vision – ECCV 2014 (Springer International Publishing), 2014: 154–169, ISBN 978-3-319-10583-3, doi:10.1007/978-3-319-10584-0_11可免费查阅 

阅读更多

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  • Ferraro, Pietro. What a caustic!. The Physics Teacher. 1996, 34 (9): 572–573. Bibcode:1996PhTea..34..572F. doi:10.1119/1.2344572. 
  • Dachsbacher, Carsten; Liktor, Gábor. Real-time volume caustics with adaptive beam tracing. Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (ACM). February 2011: 47–54.