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拉比周期

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物理学中,拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态,如果状态不是简并的,当吸收一份能量以后,体系可以被激发。

这种效应在量子光学核磁共振量子计算中非常重要,它是以伊西多·伊萨克·拉比(Isidor Isaac Rabi)的名字命名的。

当一个原子(或者其它二能级体系)被一束相干照射的时候,它将周期性地吸收光子并透過受激发射重新将光子发射出来,这样一个周期称为拉比周期,它的倒数称为拉比频率英语Rabi frequency

这种机制是量子光学的基础,其模型的建立可以依据傑恩斯-卡明斯模型布洛赫矢量形式。

例如,对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子(该原子的电子可以处于激发态或者基态),利用布洛赫方程可以得到,原子处于激发态的机率为 ,其中拉比频率英语Rabi frequency

更一般地,可以考虑一个没有本征态的二能级体系,如果这个体系初态位于其中一个能级,时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡,其角频率也称为拉比频率英语Rabi frequency

数学处理

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拉比效應的數學細節請參見拉比問題英语Rabi_problem。 例如,若將电磁场频率调至激发能,並於電磁場當中置入一個雙態原子(該原子之电子可以处于激发态或基态),那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出:

是拉比频率。

更一般而言,我們可以考虑一種,兩個能階都不是能量本征态的系统 。因此,如果在其中一個能階對系统初始化,则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡,其角频率[1]也称为拉比频率。 該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量 ,这意味着每个状态向量 是以標准的复数坐标表示。

是坐标。[2]

如果向量归一化, 的关联為 。 基向量表示为

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 2埃尔米特矩阵 ,这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验

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可以透過以下步骤建構振荡实验:[3]

  1. 准备系统,使之處於固定狀态;例如
  2. 哈密顿量H下讓态隨时间t自由演化
  3. 求出狀态为的機率 P(t)

如果是H的本征态且P(t)=1 ,那麼就不会產生振荡。此外,如果两個態皆為簡併態,那麼包括在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。

另一方面,若H無简并本征态,且初态不是本征态,则振荡将會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

是实数。 这个矩阵可以分解为

是2 2單位矩陣,泡利矩陣 。 尤其是在与时间无关的情况下,这种分解能夠简化系统分析,其中是常数。考虑置於磁场 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为

是粒子磁矩的大小, 旋磁比泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是,而具有对应的本徵值 。 我們可以在系统处于状态下,給出找到任意状态之機率。在的時刻,让系统处于准备状态 。 注意到的本征态 :

此處的哈密顿量与时间无关。 因此,透過求解平稳的薛丁格方程,在經過时间t之后,狀態演變為 ,帶有系统总能量 。 因此經過时间t之后,状态成为:

现在假设在t時刻,對x方向上的自旋進行测量。 下式给出測量到自旋向上的機率:

是特徵角频率,假设的情形,給定[4] 在这种情况下,当系统最初自旋是在方向,那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间而振盪。 同样,如果我们测量方向,那麼所测量到的系统自旋为之機率為 。在簡併情形下 ,特征频率為0,無振盪發生。

留意到,如果系统处于给定哈密顿量的本征态,则系统将維持在该状态,保持不變。

這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。 以 為例;如果系统的初始自旋状态为 ,那麼在時刻,自旋在y方向测量结果為之機率為[5]

以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式

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考虑以下形式的哈密顿量

該矩陣的特徵值為

此處。因此我們可以取

現在,由方程式 :,我們可以得到的特徵向量。

因此,

對特徵向量採用歸一化條件

因此

。所以

我們得到 ,即 。取任意相角,我們可以寫下 . 同理可證,

所以特徵值之特徵向量為

由於總相角較無關緊要,我們可以寫下

類似地, 特徵能量之特徵向量為

從這兩個方程,我們可以寫出

假設系統開始時在時刻 的狀態是,也就是說,。經過時間t之後,狀態演變為

如果系統處於之中的某一個本徵態,那麼它將會維持在同一個本徵態。然而,對於如上所示的一般初始狀態而言,時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態的機率幅為

系統當前處於,而之後處於任意態 的機率為

這可以簡化為

.........(1)

這表明, 當系統最初處於狀態時,該系統最終處於狀態的機率是有限的。機率是以角頻率 振盪,而是系統唯一的玻爾頻率,又稱為拉比频率英语Rabi frequency。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後,系統處於狀態的機率為,同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪,在許多問題之中都會發生這種振盪,如中微子振荡電離氫分子英语Hydrogen_ion量子计算氨邁射等等。

量子计算中的拉比振盪

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任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋系统,將磁矩置于经典磁场之中。令系统旋磁比,因此磁矩,可以給出该系统的哈密顿量,此處

透過上述步骤,我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在,让量子位元在時刻處於量子態,那么,在时刻,量子位元处于量子態的機率為,这种现象就稱作拉比振盪。因此,量子位元會在量子態之间振荡。振盪的振幅會在達到最大,而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為,要从一個量子態跃迁到另一個量子態,只需调整旋转场作用的时间滿足或是就充分了,这叫做「脈衝」。如果选择的时间介于0和之间,我们會得到的疊加態。尤其是當的時候,我们會得到一個「脈衝」,它的作用是造成量子態躍遷,而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时,方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差(是激光波的频率)及拉比频率,与原子的跃迁电偶极矩与激光波电场的乘积成正比,也就是。總而言之,拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程,而這個振盪是在適當調整的時間間隔內,藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得[6]

相关条目

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外部链接

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A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.

  1. ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. (原始内容存档于2020-05-08). 
  2. ^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341. 
  3. ^ Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-07-16). 
  4. ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
  5. ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
  6. ^ A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567