交叉數不等式
交叉數不等式是數學的圖論分支中的一条不等式,給出了一幅图画在平面上时交叉數的下界;这一结论又名交叉数引理。給定一幅圖,該下界可由其邊數和頂點數計算出。不等式斷言,若邊數与頂點數的比值大于某个常数,則交叉數不小于乘以另一个固定的常数。
交叉數不等式在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。其由奧伊陶伊·米克洛什、瓦茨拉夫·赫瓦塔爾、蒙提·紐邦、塞邁雷迪·安德烈四人[1]以及湯姆森·雷頓[2]分別獨立發現。
敍述及歷史
[编辑]交叉數不等式說明,若無向簡單圖恰有個頂點和條邊,且,則交叉數(即將畫在平面上時,邊的交點數的最小可能值)滿足不等式
式中的常數為截至2019年所知最優。此為伊爾·艾克曼(Eyal Ackerman)的結果。[3] 先前常數較弱的結果,可見Pach & Tóth (1997)和Pach 等人 (2006)。[4][5] 条件中的常數也可以縮少至更佳的,但代價是要換成較差的。此版本的證明見後文。
注意式中交叉數與兩兩交叉數不同。如Pach & Tóth (2000)指出,兩兩交叉數係指相交邊對的最小可能數,而交叉數係指由任意兩邊所成交叉點的最小可能數,從而。(一些作者可能假定圖的畫法中不允許兩條邊交叉多於一次,因此需要作出區分。)[6]
應用
[编辑]雷頓研究交叉數,是為了理論計算機科學中,超大型積體電路設計方面的應用。[2]
此後,Székely (1997)發現此不等式在關聯幾何方面有應用,能夠簡短地證明一些重要定理,例如塞邁雷迪-特羅特定理,其在已知平面上的點數和直線數時,給出關聯數(即點線對的數目,其中)的上界。證明方法是,先構造一幅圖,其頂點即為平面上的點,而邊則為同一直線上相鄰兩個關聯點之間的線段。倘若關聯數大於塞邁雷迪-特羅特的上界,則利用交叉數不等式可證,該圖的交叉數必多於直線的二元組數,但此為不可能(因為兩條直線只能交於獨一點)。此不等式同樣適用於證明貝克定理,即若平面上個點中,不存在線性多(即)個點共線,則其兩兩連線產生平方多(即)條不重合的直線,其中和為正常數。[7] 塔馬爾·戴伊類似地證明了幾何k-集數的上界。[8]
證明
[编辑]引理
[编辑]先利用歐拉公式證明以下初步估計:若圖G恰有n個頂點和e條邊,則
考慮的一個僅得個交叉的畫法。可以在每個交叉刪走其中一條邊,從而消除所有交叉。於是,剩下的邊組成一幅平面圖(因為不再有交叉),其邊數至少為,頂點數則仍舊為。根據平面圖的歐拉公式,,所以上述估計成立。(更準確來說,對於,有。)
交叉數不等式
[编辑]有了上述引理,就可以利用概率方法證明原來的交叉數不等式。設為待定的概率參數,依如下步骤構造的隨機子图:1. 以概率独立随机选取的各个顶点;2. 若中一条边的两个顶点皆被选中,则在子图中构造连接这两个顶点的边。分別以、和表示的邊數、頂點數和交叉數。由於是的子圖,的畫法已含有的畫法。由引理,得
取期望值,可知
由於中每個頂點选入中的概率為,有。類似知中每條邊入选的概率為(因為其兩端皆要入选),所以。最後,在的畫法中,每個交叉有的概率落入,因為每個交叉牽涉四個頂點。(若從同一個頂點出發畫出兩條邊有交叉,則不妨將兩條邊第一次相交以後的部分對調,從而令交叉的數目變少。由於所考慮的畫法僅得個交叉,無法再減少交叉,所以每個交叉必由兩條無公共端點的邊組成。)因此,,於是上式可寫成
現在取(已設),移項化簡得不等式
以上論證對於的情況可以將常數由改進到。[3]
推廣
[编辑]若圖的圍長大於且,Pach,Spencer & Tóth (2000)將不等式改進成[9]
卡里姆·阿迪普拉西托將不等式推廣到高維情況:[10] 若為單體複形,且其維面數為,維面數為,滿足,則當映射到(將圖畫在平面上的高維類比)時,相交的維面對的數目至少為
參考資料
[编辑]- ^ Ajtai, M.; Chvátal, V.; Newborn, M. M.; Szemerédi, E., Crossing-free subgraphs, Theory and practice of combinatorics, North-Holland Mathematics Studies 60, North-Holland, Amsterdam: 9–12, 1982, MR 0806962 (英语).
- ^ 2.0 2.1 Leighton, T., Complexity Issues in VLSI, Foundations of Computing Series, Cambridge, MA: MIT Press, 1983 (英语).
- ^ 3.0 3.1 Ackerman, Eyal, On topological graphs with at most four crossings per edge, Computational Geometry, 2019, 85: 101574, 31, MR 4010251, arXiv:1509.01932
, doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574 (英语).
- ^ Pach, János; Tóth, Géza, Graphs drawn with few crossings per edge, Combinatorica, 1997, 17 (3): 427–439, MR 1606052, doi:10.1007/BF01215922 (英语).
- ^ Pach, János; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza, Improving the crossing lemma by finding more crossings in sparse graphs, Discrete and Computational Geometry, 2006, 36 (4): 527–552, MR 2267545, doi:10.1007/s00454-006-1264-9
(英语).
- ^ Pach, János; Tóth, Géza, Which crossing number is it anyway?, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2000, 80 (2): 225–246, doi:10.1006/jctb.2000.1978 (英语).
- ^ Székely, L. A., Crossing numbers and hard Erdős problems in discrete geometry, Combinatorics, Probability and Computing, 1997, 6 (3): 353–358, MR 1464571, doi:10.1017/S0963548397002976 (英语).
- ^ Dey, T. K., Improved bounds for planar k-sets and related problems, Discrete and Computational Geometry, 1998, 19 (3): 373–382, MR 1608878, doi:10.1007/PL00009354
(英语)
- ^ Pach, J.; Spencer, J.; Tóth, G., New bounds on crossing numbers, Discrete and Computational Geometry, 2000, 24 (4): 623–644, MR 1799605, doi:10.1145/304893.304943 (英语).
- ^ Adiprasito, Karim. Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity. 2018-12-26. arXiv:1812.10454v3
[math.CO] (英语).
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