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玻茲曼分佈

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玻茲曼分佈Boltzmann distribution / Gibbs distribution)係一個統計力學概率分佈。玻茲曼分佈係一個系統喺某個狀態嘅機會率,而佢會隨嗰個系統嘅溫度改善。玻茲曼分佈可以寫成:係系統喺 狀態嘅機率, 代表正比自然底數 狀態嘅能量,而 波茲曼常數同呢個系統嘅溫度。

玻茲曼分佈係以波茲曼嘅名嚟命名嘅,佢喺 1868 年喺研究氣體熱平衡嘅統計力學時第一次提出嚟。[1]波茲曼嘅統計學工作係喺佢嘅論文《關於熱力學第二基本定理同熱平衡條件嘅概率計算之間嘅關係》度有所體現。之後,約西亞·威拉德·吉布斯喺 1902 年以現代通用形式廣泛研究咗呢個分佈。

唔好將玻茲曼分佈同麥士維-波茲曼分佈或者麥士維-波茲曼統計搞亂。波茲曼分布定律係以能量作為系統嘅某個狀態嘅機率分佈嚟表示,而 麥士維-波茲曼分佈則係表示理想氣體粒子速度或者能量嘅機率分佈。不過,一維氣體嘅能量分佈的確係遵循波茲曼分佈。

分佈

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玻茲曼分佈可以寫成:

係系統喺 狀態嘅機率, 代表正比自然底數 狀態嘅能量,而 波茲曼常數同呢個系統嘅溫度配分函數(Canonical Partition Function)。

佢令到所有狀態嘅機率 加埋會變咗做 1。

例子

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一個雙態系統有兩個狀態,基態(Ground State)同埋激發態(Excited State)。如果佢地嘅能量分別係 嘅話,咁依個雙態系統喺基態同激發態嘅機率就係 。如果 都係正數嘅話,咁基態出現嘅機率就會大過激發態。

參考

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  1. Boltzmann, Ludwig (1868). Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten [Studies on the balance of living force between moving material points].第58卷. Wiener Berichte. pp. 517–560.