Графічне позначення Пенроуза
У математиці та фізиці графічне позначення Пенроуза або тензорна діаграма — це (як правило рукописне) візуальне зображення мультилінійних функцій або тензорів, запропоноване Роджером Пенроузом у 1971 році. [1] Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. Нотація була широко вивчена Предрагом Цвітановичем, який використовував її, діаграми Фейнмана та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації класичних груп Лі. [2] Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою теорії представлень до спінових мереж у фізиці та за допомогою груп матриць до діаграм сліду в лінійній алгебрі. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній квантовій теорії, зокрема в станах матричного добутку та квантових схемах .
Мовою мультилінійної алгебри кожна фігура представляє мультилінійну функцію. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, композицією функцій.
Мовою тензорної алгебри окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає абстрактним верхнім та нижнім індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають згортці за відповідними індексами. Однією з переваг цієї нотації є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від базису. [3]
Кожна фігура представляє матрицю, тензорний добуток позначається горизонтально, а множення матриць виконується вертикально.
Метричний тензор представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.
Антисиметричний тензор Леві-Чивіти представлений товстою горизонтальною смужкою з ніжками, спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.
Структурні константи ( ) алгебри Лі представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.
Згортка індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення дельти Кронекера та скалярного добутку:
Симетризація індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.
(де ) |
Антисиметризація індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.
(де ) |
Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.
Коваріантну похідну ( ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.
Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «тотожностей» тензорних маніпуляцій.
Наприклад, , де n є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.
Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення
Позначення було розширено завдяки спінорам і твісторам . [4] [5]
- ↑ Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary.
- ↑ Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press.
- ↑ Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, ISBN 0-09-944068-7, Chapter Manifolds of n dimensions.
- ↑ Penrose, R.; Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. с. 424—434. ISBN 0-521-24527-3.
- ↑ Penrose, R.; Rindler, W. (1986). Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-25267-9.