Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз
![{\displaystyle \{\varphi ,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80njFBzDhBzjs0nge2ztG2aDvEatvBags0nDwPa2rCoqdBnAhAnjC0)
де
й
— будь-які функції
узагальнених координат
та узагальнених імпульсів
,
— кількість ступенів свободи системи.
Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.
Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:
![{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BnAoPnDhAzgi3nqrAaNo4yjs2yjw0njs1otKQags1ztC0zDzFoAsP)
![{\displaystyle \{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha \{f,h\}+\beta \{g,h\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oDnDz2o0yjG2aga5zjG5zjdAnjm4o2s2aqw2zja4oqa3oDC0njFA)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\}+\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoAo3ntw4atw4ngzCntnCotK5nDFDntvAa2o0zDFFotmPyji5aga3)
![{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BaAe2nDK0aDeNaAo2yjlAnAhEatmNagvEotFAyjBFnqs4zqiQnDrD)
— тотожність Якобі
Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних
![{\displaystyle \{\varphi ,g\}=\sum _{i}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial P_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial Q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial Q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial P_{i}}}\right),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Enjo2agdCztlBzNBEote3ztzDzNGNaNoOotzEoNi4o2nFntdBntG0)
Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:
![{\displaystyle \{f,q_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zgdEnAzBygo4nDnFzgvAaga0ajs0nDsQyqsQa2vFzDBBzqdEytFF)
![{\displaystyle \{p_{i},g\}={\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzqvEo2hCzgrDatdDoDCQotC0ygnBzte2yjzDntw4ztm1zNvEygsP)
Якщо замінити і другу фунцію
![{\displaystyle \{q_{j},q_{i}\}=\{p_{j},p_{i}\}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nDiPyja1atwQz2aOzjBDyjFCoto1yqrAzDsNoqo3nqsOajwQnDlF)
![{\displaystyle \{p_{j},q_{i}\}=\delta _{ji}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qajs5ngw0nqiQoNs5aDaPnDJCoDCQnDaNytw5oNC4oDvDzjw3ygo4)
Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних
Кожен інтеграл руху
повинен задовільняти рівнянню
.
У випадку, коли
не залежить від часу явно,
![{\displaystyle \{H,\psi \}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oteOztrEaAnAaAeQzto4nga5njaPnDlEngrDztrCoNeQothEnDs3)
Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі
повинна задовільняти рівнянню Ліувілля
.
- Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретична механіка. — : Вища школа, 1975. — 516 с.