Теорема Бруна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Збіжність до константи Бруна.

Теорема Бруна — твердження, що сума чисел, обернених до чисел-близнюків (пар простих чисел, які відрізняються лише на 2) збігається до скінченного значення, відомого як стала Бруна, яку позначають як B2 (послідовність A065421 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Теорему 1919 року довів Віґґо Брун, і вона має історичне значення для методів решета[en].

Асимптотичні границі чисел-близнюків

[ред. | ред. код]

Збіжність суми чисел, обернених до чисел-близнюків, випливає з обмеженості щільності послідовності чисел-близнюків. Нехай означає число простих чисел, для яких p + 2 теж є простим (тобто, є числом чисел-близнюків, що не перевершують x). Тоді для маємо

Тобто числа-близнюки рідкісніші в порівнянні з простими числами майже на логарифмічний множник. З цього обмеження випливає, що сума чисел, обернених до чисел-близнюків, збіжна, або, іншими словами, числа-близнюки утворюють малу множину[en]. Сума в явному вигляді

або має скінченне число членів, або має нескінченне число членів, але збігається до значення, відомого як стала Бруна.

Із факту, що сума значень, обернених до простих чисел, розбіжна, випливає, що існує нескінченно багато простих чисел. Оскільки сума значень, обернених до чисел-близнюків, збіжна, з цього результату неможливо зробити висновок, що існує нескінченно багато чисел-близнюків. Стала Бруна ірраціональна тільки в разі нескінченного числа чисел-близнюків.

Числові оцінки

[ред. | ред. код]

При обчисленні чисел-близнюків аж до 1014 (і виявленні при цьому помилки Pentium FDIV), Томас Р. Найслі евристично оцінив сталу Бруна приблизно рівною 1,902160578[1]. На 18 січня 2010 Найслі розширив обчислення до 1,6× 1015, але це не було найбільше обчислення цього типу.

2002 року Паскаль Себа і Патрік Демішель використали всі числа-двійники аж до 1016 і отримали оцінку[2]

B2 ≈ 1,902160583104.

Оцінка спирається на оцінку суми 1,830484424658… для чисел-близнюків, менших від 1016. Домінік Клайв показав (у неопублікованих тезах), що B2 < 2.1754 у припущенні, що істинна розширена гіпотеза Рімана[3].

Існує також стала Бруна для квадруплетів близнюків. Квадруплет простих чисел[en] — це дві пари чисел-близнюків, відстань між якими 4 (найменша можлива відстань). Кілька квадруплетів — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Стала Бруна для квадруплетів, що позначається B4, дорівнює сумі чисел, обернених до чисел у всіх квадруплетах:

І ця сума дорівнює

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, похибка має довірчий рівень 99 % (за Найслі)[4].

Цю сталу не слід плутати зі сталою Бруна для споріднених простих чисел[en], пар простих чисел вигляду (pp + 4), оскільки цю сталу теж позначають як B4.

Подальші результати

[ред. | ред. код]

Нехай (послідовність A005597 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) — стала простих-близнюків. Є гіпотеза, що

Зокрема,

для будь-якого і всіх досить великих x.

Багато особливих випадків, згаданих вище, доведено. Нещодавно Цзє У[en] (Jie Wu) довів, що для досить великого x,

,

де 4,5 відповідає випадку вище.

У популярній культурі

[ред. | ред. код]

Цифри сталої Бруна використано в заявці на $1 902 160 540 на патентному аукціоні Nortel. Заявка, яку опублікувала компанія Google, була однією з трьох заявок Google, заснованих на математичних сталих[5].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Nicely, Thomas R. (18 січня 2010). Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory). Архів оригіналу за 8 грудня 2013. Процитовано 16 лютого 2010.
  2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Introduction to twin primes and Brun’s constant computation. Процитовано 5 січня 2018.
  3. Klyve, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant. Процитовано 13 травня 2015.
  4. Nicely, Thomas R. (26 серпня 2008). Enumeration to 1.6× 1015 of the prime quadruplets. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory). Архів оригіналу за 30 грудня 2008. Процитовано 9 березня 2009.
  5. Damouni, Nadia (1 липня 2011). Dealtalk: Google bid "pi" for Nortel patents and lost. Reuters. Архів оригіналу за 3 липня 2011. Процитовано 6 липня 2011.

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]