Таққослаш аломати (тести)

Математикада таққослаш аломати (тести), ба'зан у о'хшаш тестлардан (айниқса, лимитни таққослаш тести) ажратиш учун то'г'ридан- то'г'ри таққослаш аломати деб аталади, чексиз қатор ёки хосмас интегралнинг яқинлашувчилиги ёки узоқлашувчилигини аниқлаш усулини та'минлайди. Иккала ҳолатда ҳам аломат берилган қатор ёки интегрални яқинлашиш хоссалари ма'лум бо'лган қаторга солиштириш орқали ишлайди. Таққослаш инсоннинг ижтимойи фаолиятида билимларининг о'злаштиришда воқеликни то'лароқ акс эттиришда бир-бирга о'хшаш жиҳатлар тафовутнинг талқинидир.

Қаторлар учун

Дифференсиал ҳисобда қаторлар учун таққослаш аломати одатда номанфий (ҳақиқий қийматли) ҳадли чексиз қаторлар учун қуйидаги шартлар мажмуасидан иборат:

• Агар $\sum b_{n}$ чексиз қатор яқинлашувчи бо'либ, $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ муносабат барча етарлича катта н (я'ни, барча $n>N$ учун, бунда Н қандайдир фиксрланган сон) лар учун о'ринли бо'лса, у ҳолда $\sum a_{n}$ чексиз қатор ҳам яқинлашувчи бо'лади.
• Агар $\sum b_{n}$ чексиз қатор узоқлашувчи бо'либ, $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ муносабат барча етарлича катта н лар учун о'ринли бо'лса, у ҳолда $\sum a_{n}$ чексиз қатор ҳам узоқлашувчи бо'лади.

Шу билан бир қаторда, аломат абсолют яқинлашиш нуқтаи назаридан ифодаланиши мумкин, бу ҳолда у комплекс ҳадли қаторларга ҳам тегишли бо'лади:

• Агар $\sum b_{n}$ чексиз қатор абсолют яқинлашувчи бо'либ, $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ муносабат барча етарлича катта н лар учун о'ринли бо'лса, у ҳолда $\sum a_{n}$ чексиз қатор ҳам абсолют яқинлашувчи бо'лади.
• Агар $\sum b_{n}$ чексиз қатор абсолют яқинлашувчи бо'лмаса ва $|b_{n}|\leq |a_{n}|$ муносабат барча етарлича катта н лар учун о'ринли бо'лса, у ҳолда $\sum a_{n}$ чексиз қатор ҳам абсолют яқинлашувчи бо'лмайди.

Э'тибор беринг, ушбу со'нгги жумлада $\sum a_{n}$ қатор шартли яқинлашувчи бо'лиши мумкин; ҳақиқий қийматли қаторлар учун, агар а_н нинг ҳадларининг ҳаммаси ҳам номанфий бо'лмаса, бу содир бо'лиши мумкин.

Ҳақиқий қийматли қаторлар ҳолида, иккинчи жуфт шартлар биринчисига тенг кучли. Чунки $\sum c_{n}$ қатор абсолют яқинлашади фақат ва фақат $\sum |c_{n}|$ (номанфий ҳадли қатор) яқинлашувчи бо'лса.

Исбот

Юқорида келтирилган барча жумлаларнинг исботлари о'хшашдир. Қуйида учинчи жумланинг исботи.

$\sum a_{n}$ ва $\sum b_{n}$ лар шундай чексиз қаторлар бо'лсинки, бунда $\sum b_{n}$ абсолют яқинлашувчи (шунинг учун $\sum |b_{n}|$ яқинлашади) бо'лсин. Умумийликка зарар етказмасдан фараз қиламизки, $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ муносабат барча мусбат бутун н лар учун о'ринли бо'лади. Қуйидаги қисмий йиг'индиларни қарайлик,

$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.$

$\sum b_{n}$ абсолют яқинлашувчи бо'лганлиги учун, $\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$ муносабат қандайдир ҳақиқий сон Т учун о'ринли бо'лади. Барча н лар учун,

$0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$

$S_{n}$ камаймайдиган ва $S_{n}+(T-T_{n})$ о'смайдиган кетма-кетликлардир. Берилган $m,n>N$ лар учун $S_{n},S_{m}$ ларнинг иккаласи ҳам $[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$ интервалга тегишли, бунда $T-T_{N}$ нинг узунлиги $N$ чексизликка интилганда нолга интилади. Бу $(S_{n})_{n=1,2,\ldots }$ нинг Коши кетма-кетлиги эканлигини ва шунинг учун ҳам лимитга яқинлашиши кераклигини ко'рсатади. Шунинг учун, $\sum a_{n}$ абсолют яқинлашувчи ҳисобланади.

Интеграллар учун

Қуйида интеграллар учун таққослаш аломати (тести) ни келтирамиз.

ф ва г ҳақиқий қийматли узлуксиз функсиялар $[a,b)$ да аниқланган ва б нинг қиймати $+\infty$ га ёки ф ва г ларнинг ҳар бири вертикал асимптотага эга бо'ладиган ҳақиқий сонга тенг:

• Агар $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ хосмас интеграл яқинлашувчи бо'лса ва $0\leq f(x)\leq g(x)$ муносабат $a\leq x<b$ да о'ринли бо'лса, у ҳолда $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ хосмас интеграл яқинлашади ва $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
• Агар $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ хосмас интеграл узоқлашувчи бо'лса ва $0\leq g(x)\leq f(x)$ муносабат $a\leq x<b$ да о'ринли бо'лса, у ҳолда $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ хосмас интеграл ҳам узоқлашади.

Нисбатларни таққослаш аломати (тести)

Юқоридаги то'г'ридан-то'г'ри таққослаш тести ва нисбатлар тестига о'хшаш ҳақиқий қийматли қаторларнинг яқинлашуви учун бошқа тест нисбатларни таққослаш тести деб аталади:

• Агар $\sum b_{n}$ чексиз қатор яқинлашса ва $a_{n}>0$, $b_{n}>0$ ҳамда ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ муносабатлар барча етарлича катта н лар учун о'ринли бо'лса, у ҳолда $\sum a_{n}$ чексиз қатор ҳам яқинлашади.
• Агар $\sum b_{n}$ чексиз қатор узоқлашса ва $a_{n}>0$, $b_{n}>0$ ҳамда ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ муносабатлар барча етарлича катта н лар учун о'ринли бо'лса, у ҳолда $\sum a_{n}$ чексиз қатор ҳам узоқлашади.

Манбалар

• Айрес, Франк Жр.. Счаум'с Оутлине оф Cалcулус, 4тҳ, Неw Ёрк: МcГраw-Ҳилл, 1999. ИСБН 0-07-041973-6. 
• Буcк, Р. Cреигҳтон. Адванcед Cалcулус, 2нд, Неw Ёрк: МcГраw-Ҳилл, 1965. 
• Кнопп, Конрад. Инфините Сеқуэнcес анд Сериэс. Неw Ёрк: Довер Публиcатионс, 1956. ИСБН 0-486-60153-6. 
• Мунем, М. А.. Cалcулус wитҳ Аналйтиc Геометрй, 2нд, Wортҳ Публишерс, 1984. ИСБН 0-87901-236-6. 
• Силверман, Ҳерб. Cомплех Вариаблес. Ҳоугҳтон Миффлин Cомпанй, 1975. ИСБН 0-395-18582-3. 
• Wҳиттакер, Э. Т.. А Cоурсе ин Модерн Аналйсис, 4тҳ, Cамбридге Университй Пресс, 1963. ИСБН 0-521-58807-3.