משפטי האי-שלמות של גדל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה |
מ ניסוח - הניסוח הקודם שלי במבוא השתמש במושג האמת, שאפילו לתיאור כללי אינו נראה מתאים. תגיות: עריכה חזותית מערכת בדיקת עריכה (הערות שוליים) הופעלה מערכת בדיקת עריכה (הערות שוליים) – נדחה (לא רלוונטי) |
||
שורה 2:
'''משפטי אי-השלמות של [[קורט גדל]]''' הם צמד [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] יסודיים ב[[לוגיקה מתמטית]], הענף החוקר את יסודות ה[[לוגיקה]] בכלים [[מתמטיקה|מתמטיים]], שהוכחו על-ידי גדל בשנת 1931. משפטים אלו הם מהמשפטים המפורסמים ביותר במתמטיקה וזכו לשפע התיחסויות פילוסופיות ותרבותיות הן בגלל ההשלכות של משפטים אלו ב[[פילוסופיה של המתמטיקה]] ובלוגיקה והן בגלל שהמשפטים עוסקים בגבולות של מה שניתן להוכיח בתוך מערכת פורמלית: הם מראים מתמטית כי קיים גבול למה שאפשר להוכיח באמצעים מתמטיים. גם הנושא הזה של התיחסות עצמית הפך אותם למעוררי עניין.
המאה ה-19 ידעה ערעור באמון המדע בידע של האדם בכלל ושל המדען בפרט. בני-אדם החלו להיות מובנים כסובייקטיביים בהכרח ולכן פותחו דרכי הגדרה חדשות של מהו ידע, שתסתמכנה על כלים, שאינם האינטואיציה או ההבנה הפרטית של המדען. מי שהוביל את השינוי היו תחומי המתמטיקה והלוגיקה. אחד מהנסיונות להגדרת ידע באופן שאינו תלוי באדם הפרטי היה פניה לאמצעים מכניים. אחת השאלות שעלתה היתה האם ניתן להגדיר את כל הידע המתמטי באמצעות מערכת הסק הניתנת לתאור מכני לחלוטין. משפטי אי-השלמות הראו כי שום מערכת אקסיומות והסק עקבית הניתנת לתאור מכני ומסוגלת לתאר את המספרים הטבעיים אינה יכולה להיות שלמה - כלומר להוכיח או להפריך כל טענה. בפרט נובע מכך שהיא אינה יכולה להסיק את כל המשפטים האריתמטיים האמתיים.
במשפט הראשון, גדל הראה שכל מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות ה[[אריתמטיקה]]) שהיא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]], היא בהכרח לא [[שלמות|שלמה]], משמע שקיימות [[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|טענות שלא ניתנות להכרעה]], כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן באמצעות מערכת האקסיומות. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים [[תוכנית הילברט|לבנות מערכת אקסיומטית כוללת]] שממנה תנבע כל המתמטיקה.
| |||