Eulerov identitet: razlika između inačica
jednadžba i jednakost su različiti pojmovi |
mNema sažetka uređivanja |
||
Redak 10: | Redak 10: | ||
{{nowrap|(1 + ''z''/''N'')<sup>''N''</sup>}}. Tako da kada ''N'' teži u beskonačnost time je i ''e''<sup>''iπ''</sup> limes od {{nowrap|(1 + ''iπ/N'')<sup>''N''</sup>}}. Može se pokazati da se za dovoljno veliki ''N'', izraz {{nowrap|(1 + ''iπ/N'')<sup>''N''</sup>}}približava svom limesu koji iznosi −1. |
{{nowrap|(1 + ''z''/''N'')<sup>''N''</sup>}}. Tako da kada ''N'' teži u beskonačnost time je i ''e''<sup>''iπ''</sup> limes od {{nowrap|(1 + ''iπ/N'')<sup>''N''</sup>}}. Može se pokazati da se za dovoljno veliki ''N'', izraz {{nowrap|(1 + ''iπ/N'')<sup>''N''</sup>}}približava svom limesu koji iznosi −1. |
||
Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, ''[[pi|π]]'', ''[[Eulerov broj|e]]'' i imaginarni broj ''[[imaginarna jedinica|i]]''. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. |
Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, ''[[pi|π]]'', ''[[Eulerov broj|e]]'' i imaginarni broj ''[[imaginarna jedinica|i]]''. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici. |
||
== Izvod == |
== Izvod == |
||
Radi se o posebnom slučaj [[Eulerova formula|Eulerove formule]] koja ustanovljava da je |
|||
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math> |
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math> |
||
Redak 30: | Redak 30: | ||
: <math>e^{i \pi} = -1,\,\!</math> |
: <math>e^{i \pi} = -1,\,\!</math> |
||
iz čega slijedi konačan oblik |
iz čega slijedi konačan oblik jednakosti: |
||
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math> |
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math> |
||
Redak 40: | Redak 40: | ||
== Objašnjenje == |
== Objašnjenje == |
||
Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje |
Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja <math> z_1, z_2 </math> (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći <math> z_3 \in \mathbb{C} </math> kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula <math> z_1, z_2, </math> a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata <math> z_1, z_2. </math> |
||
Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja <math> (a + bi)^n </math> dobivamo logaritamsku spiralu. |
Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja <math> (a + bi)^n </math> dobivamo logaritamsku spiralu. |
Inačica od 26. prosinca 2020. u 20:55
U matematičkoj analizi Eulerova jednakost predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:
gdje je
- Eulerov broj, baza prirodnih logaritama,
- imaginarna jedinica čiji kvadrat daje −1,
- pi, realni broj i omjer opsega kružnice i njezina promjera.
Eksponencijalna funkcija ez može se definirati kao limes niza (1 + z/N)N. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i eiπ limes od (1 + iπ/N)N. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)Npribližava svom limesu koji iznosi −1.
Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.
Izvod
Radi se o posebnom slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je
za svaki realni broj x određen u radijanima.
Na taj način je i
te kako je
i
slijedi da je
iz čega slijedi konačan oblik jednakosti:
Poopćenje jednakosti
Eulerova jednakost je poseban slučaj općenitije jednakosti:
Eulerova jednakost je slučaj n = 2.
Objašnjenje
Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata
Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja dobivamo logaritamsku spiralu.
Iz realne analize je poznato da vrijedi definiramo Uočimo da ovdje potenciramo neki kompleksni broj . Kako ordinata broja se smanjuje. Dakle, modul od teži u a kut teži u Zbog toga što množimo sa sobom puta, spirala se pretvara u jediničnu kružnicu pa zaista vrijedi
Kako je slijedi