Ugrás a tartalomhoz

„Kvantum-elektrodinamika” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló
a Hivatkozásjavaslatok funkció: 5 hivatkozás hozzáadva.
 
(26 közbenső módosítás, amit 22 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
{{nincs forrás}}
{{nincs forrás}}
A '''kvantumelektrodinamika''' (QED) az [[elektrodinamika]], azaz a részecskék [[elektromágneses kölcsönhatás]]ának [[kvantummechanika|kvantumelmélete]]. Ez az első, a fizikai valóságot sikeresen leíró kerek [[kvantumtérelmélet]], ami [[Richard Feynman|Feynman]], [[Freeman Dyson|Dyson]], [[Sin-Itiro Tomonaga|Tomonaga]] és [[Julian Schwinger|Schwinger]] munkássága alapján nyerte el végső formáját az [[1940-es évek]]től kezdődően, folytatódva az [[1950-es évek]]ben, s amiért [[1965]]-ben Feynman, Tomonaga és Schwinger megosztott [[fizikai Nobel-díj]]at kapott.
A '''kvantum-elektrodinamika''' (QED) az [[elektrodinamika]], azaz a részecskék [[elektromágneses kölcsönhatás]]ának [[kvantummechanika|kvantumelmélete]]. Ez az első, a fizikai valóságot sikeresen leíró kerek [[kvantumtérelmélet]], ami [[Richard Feynman|Feynman]], [[Freeman Dyson|Dyson]], [[Sin-Itiro Tomonaga|Tomonaga]] és [[Julian Schwinger|Schwinger]] munkássága alapján nyerte el végső formáját az [[1940-es évek]]től kezdődően, folytatódva az [[1950-es évek]]ben, s amiért [[1965]]-ben Feynman, Tomonaga és Schwinger megosztott [[fizikai Nobel-díj]]at kapott.


Az elmélet felépítéséhez a kvantumelmélet keretei között a [[hatáselv]]et alkalmazzuk, azaz a klasszikus elektrodinamika által szolgáltatott energiakifejezésekből felépítjük a [[Lagrange-függvény]]t, amit a klasszikus [[mértékszabadság]] kvantumelméleti alkalmazásával teszünk teljessé.
Az elmélet felépítéséhez a kvantumelmélet keretei között a [[hatáselv]]et alkalmazzuk, azaz a klasszikus elektrodinamika által szolgáltatott energiakifejezésekből felépítjük a [[Lagrange-függvény]]t, amit a klasszikus [[mértékszabadság]] kvantumelméleti alkalmazásával teszünk teljessé.


==Története==
== Története ==


A [[kvantummechanika]] fejlődése a fény [[hullám-részecske kettősség|kettős természetének]] felismerésével: a [[feketetest-sugárzás]] ([[Max Planck]] [[1900]]) és a [[fotoeffektus]] magyarázatával ([[Albert Einstein]] [[1905]]), a [[foton]] felfedezésével kezdődött. Az elektromágneses kölcsönhatás alapvető szerepet játszott a kvantummechanika, s ugyanakkor a [[speciális relativitáselmélet]] megszületésében. [[Louis de Broglie]] ([[1924]])tette általánossá a [[hullám-részecske kettősség]] elvét, kimondva, hogy minden anyagi részecskének van hullámtermészete is.
A [[kvantummechanika]] fejlődése a fény [[hullám-részecske kettősség|kettős természetének]] felismerésével: a [[feketetest-sugárzás]] ([[Max Planck]] [[1900]]) és a [[fotoeffektus]] magyarázatával ([[Albert Einstein]] [[1905]]), a [[foton]] felfedezésével kezdődött. Az elektromágneses kölcsönhatás alapvető szerepet játszott a kvantummechanika, s ugyanakkor a [[speciális relativitáselmélet]] megszületésében. [[Louis de Broglie]] ([[1924]]) tette általánossá a [[hullám-részecske kettősség]] elvét, kimondva, hogy minden anyagi részecskének van hullámtermészete is.


Egy [[tömegpont]]ot nemrelativisztikus esetben a [[Schrödinger-egyenlet]] ([[Erwin Schrödinger]], [[1926]]), relativisztikus esetben a [[Dirac-egyenlet]] ([[Paul Dirac]], [[1928]]) ír le. A [[hidrogénatom]] [[színképvonal]]ait (energiaszintejit) a nemrelativisztikus egyenlet nem túl jól közelíti (más atomokra és molekulákra már pontosabb eredményt ad), a relativisztikus egyenletből adódó eredmények pontossága jó bizonyítéka a relativitáselméletnek. Ezek az egyenletek azonban az elektromágneses teret a Hamilton-operátorba tett energiatagként („klasszikus” potenciálként) kezelik, s nem alkalmasak a fotonnak, mint részecskének a leírására a foton fénysebessége és nulla tömege miatt.
Egy [[tömegpont]]ot nemrelativisztikus esetben a [[Schrödinger-egyenlet]] ([[Erwin Schrödinger]], [[1926]]), relativisztikus esetben a [[Dirac-egyenlet]] ([[Paul Dirac]], [[1928]]) ír le. A [[hidrogénatom]] [[színképvonal]]ait (energiaszintjeit) a nemrelativisztikus egyenlet nem túl jól közelíti (más atomokra és molekulákra már pontosabb eredményt ad), a relativisztikus egyenletből adódó eredmények pontossága jó bizonyítéka a relativitáselméletnek. Ezek az egyenletek azonban az elektromágneses teret a Hamilton-operátorba tett energiatagként („klasszikus” potenciálként) kezelik, s nem alkalmasak a fotonnak, mint részecskének a leírására a foton [[fénysebesség]]e és nulla tömege miatt.


Lehetséges azonban kvantálni ([[kanonikus kvantálás]]) a [[harmonikus oszcillátor]] analógiájára a [[Maxwell-egyenletek]]ből származó energiakifejezést ([[Werner Heisenberg]], [[Max Born]], [[Pascual Jordan]] [[1926]], úgyhogy tiszta sugárzási tér esetén a „Schrödinger-egyenlet” szerepét tulajdonképpen a Maxwell-egyenletek játszák. Jordan [[1927]]-ben általánosította a kanonikus kvantálás módszerét részecsketerekre és a [[második kvantálás]] nevet adta neki. A kanonikus kvantálás során a hullámfüggvényben ''(részecske)keltő és eltüntető'' operátorok jelennek meg, ami lehetővé teszi a kölcsönhatás során változó részecskeszám leírását. [[Vladimir Fock]] [[1928]]-ban konstruálta meg a részecskeszámok változását leíró [[Hilbert-tér|Hilbert-teret]] amit Dirac nevezett el [[Fock-tér]]nek vagy [[Fock-reprezentáció]]nak. Ezt ''betöltési szám reprezentációként'' is ismerjük.
Lehetséges azonban kvantálni ([[kanonikus kvantálás]]) a [[harmonikus oszcillátor]] analógiájára a [[Maxwell-egyenletek]]ből származó energiakifejezést ([[Werner Heisenberg]], [[Max Born]], [[Pascual Jordan]] [[1926]], úgyhogy tiszta sugárzási tér esetén a „Schrödinger-egyenlet” szerepét tulajdonképpen a Maxwell-egyenletek játsszák. Jordan [[1927]]-ben általánosította a kanonikus kvantálás módszerét részecsketerekre és a [[második kvantálás]] nevet adta neki. A kanonikus kvantálás során a hullámfüggvényben ''(részecske)keltő és eltüntető'' operátorok jelennek meg, ami lehetővé teszi a kölcsönhatás során változó részecskeszám leírását. [[Vladimir Fock]] [[1928]]-ban konstruálta meg a részecskeszámok változását leíró [[Hilbert-tér|Hilbert-teret]] amit Dirac nevezett el [[Fock-tér]]nek vagy [[Fock-reprezentáció]]nak. Ezt ''betöltési szám reprezentációként'' is ismerjük.


Ezeken az alapokon egymástól függetlenül [[1946]]-ban [[Sin-Itiro Tomonaga|Tomonaga]] és [[1948]]-ban [[Julian Schwinger|Schwinger]] felépítette a '''kvantumelektrodinamika''' kerek elméletét. Ennek során perturbációszámítással tetszőleges pontossággal tudták reprodukálni a kísérleti eredményeket, miután megoldottak egy rémítő problémát. A számolások magasabb rendjében ugyanis a „korrekciók” végtelennek adódtak. Rájöttek azonban, hogy ez az elektron ''sajáttömegének'' és ''sajáttöltésének'' végtelen volta miatt van így (ld. [[klasszikus elektronsugár]]). Amit a kvantumelektrodinamikai számítások során a Lagrange-függvényben viszont az ún. ''csupasz tömeg'' és ''csupasz töltés'' van jelen, s a két végtelen mennyiség „különbsége” adja a ''megfigyelhető tömeget és töltést''. Az összes fellépő végtelen ezen két típus valamelyikébe tartozott, így a végtelenek konzekvens módon eltávolíthatónak bizonyultak. Eljárásukat [[renormálás]]nak hívjuk.
Ezeken az alapokon egymástól függetlenül [[1946]]-ban [[Sin-Itiro Tomonaga|Tomonaga]] és [[1948]]-ban [[Julian Schwinger|Schwinger]] felépítette a '''kvantumelektrodinamika''' kerek elméletét. Ennek során perturbációszámítással tetszőleges pontossággal tudták reprodukálni a kísérleti eredményeket, miután megoldottak egy rémítő problémát. A számolások magasabb rendjében ugyanis a „korrekciók” végtelennek adódtak. Rájöttek azonban, hogy ez az elektron ''sajáttömegének'' és ''sajáttöltésének'' végtelen volta miatt van így (ld. [[klasszikus elektronsugár]]). Amit a kvantumelektrodinamikai számítások során a Lagrange-függvényben viszont az ún. ''csupasz tömeg'' és ''csupasz töltés'' van jelen, s a két végtelen mennyiség „különbsége” adja a ''megfigyelhető tömeget és töltést''. Az összes fellépő végtelen ezen két típus valamelyikébe tartozott, így a végtelenek konzekvens módon eltávolíthatónak bizonyultak. Eljárásukat [[renormálás]]nak hívjuk.


[[Richard Feynman|Feynman]] más úton, operátorok helyett [[útintegrál]]ok segítségével építette fel a kvantumelektrodinamikát és megmutatta, hogy közvetlenül a Lagrange-függvény alapján gráftechnikájával ([[Feynman-gráf]]) felépíthető az összes lehetséges kezdő és végállapotra az összes közbülső állapotra (alapállapot és korrekciók) vonatkozó valószínűségi integrálkifejezés. Erről a technikáról [[Freeman Dyson|Dyson]] (például [[Dyson-operátor]] vagy ''időfejlesztő operátor'') mutatta meg, hogy ekvivalens Tomonaga és Schwinger módszerével. Feynman, Tomonaga és Schwinger [[1965]]-ben [[Nobel-díj]]at kaptak.
[[Richard Feynman|Feynman]] más úton, operátorok helyett [[útintegrál]]ok segítségével építette fel a kvantumelektrodinamikát és megmutatta, hogy közvetlenül a Lagrange-függvény alapján gráftechnikájával ([[Feynman-gráf]]) felépíthető az összes lehetséges kezdő és végállapotra az összes közbülső állapotra ([[alapállapot]] és korrekciók) vonatkozó valószínűségi integrálkifejezés. Erről a technikáról [[Freeman Dyson|Dyson]] (például [[Dyson-operátor]] vagy ''időfejlesztő operátor'') mutatta meg, hogy ekvivalens Tomonaga és Schwinger módszerével. Feynman, Tomonaga és Schwinger [[1965]]-ben [[Nobel-díj]]at kaptak.


==Töltött részecske mozgásegyenlete==
== Töltött részecske mozgásegyenlete ==
===Nemrelativisztikus egyenlet (Schrödinger-egyenlet)===
=== Nemrelativisztikus egyenlet (Schrödinger-egyenlet) ===


Töltés nemrelativisztikus mozgását elektromágneses térben a [[kvantummechanika]] első általános egyenlete, a [[Schrödinger-egyenlet]] írja le. A szabad tömegpont egyenletét:
Töltés nemrelativisztikus mozgását elektromágneses térben a [[kvantummechanika]] első általános egyenlete, a [[Schrödinger-egyenlet]] írja le. A szabad tömegpont egyenletét:
32. sor: 32. sor:
:<math>\hat{V}= - \frac {1}{r}</math>
:<math>\hat{V}= - \frac {1}{r}</math>


<math>\Psi=\Psi(\mathbf{x},t)\cdot\Psi^a</math> az elektron hullámfüggvénye, ami egy hely- és egy spinfüggő rész szorzataként írható fel nemrelativisztikus esetben. Általában itt a hullámfüggvény két része egymástól függetlenül kezelhető. A spinhullámfüggvény egy kétdimenziós általában konstans [[spinor]].
<math>\Psi=\Psi(\mathbf{x},t)\cdot\Psi^a</math> az [[elektron]] [[hullámfüggvény]]<nowiki/>e, ami egy hely- és egy spinfüggő rész szorzataként írható fel nemrelativisztikus esetben. Általában itt a hullámfüggvény két része egymástól függetlenül kezelhető. A spinhullámfüggvény egy kétdimenziós általában konstans [[spinor]].


===Relativisztikus egyenlet (Dirac-egyenlet)===
=== Relativisztikus egyenlet (Dirac-egyenlet) ===


A [[speciális relativitáselmélet]]ben az energia és az impulzus egy [[négyesvektor]]t alkot, ezért csak olyan egyenlet lehet Lorentz-kovariáns, amiben az energia és az impulzus azonos rendben, méghozzá lineárisan szerepelnek. A Schrödinger-egyenlet nem jó, mert abban az impulzus négyzete szerepel. Ha viszont a relativisztikus energia-impulzus-tömeg kifejezésből indulunk ki:
A [[speciális relativitáselmélet]]ben az energia és az impulzus egy [[négyesvektor]]t alkot, ezért csak olyan egyenlet lehet Lorentz-kovariáns, amiben az energia és az impulzus azonos rendben, méghozzá lineárisan szerepelnek. A Schrödinger-egyenlet nem jó, mert abban az impulzus négyzete szerepel. Ha viszont a relativisztikus energia-impulzus-tömeg kifejezésből indulunk ki:
45. sor: 45. sor:
:<math>(E-\mathbf{p}\boldsymbol{\sigma})\xi =m\eta</math>
:<math>(E-\mathbf{p}\boldsymbol{\sigma})\xi =m\eta</math>


ahol <math>\boldsymbol{\sigma}</math> a [[Pauli-mátrixok]]at jelöli, η és ξ pedig spinorok és ketten együtt alkotják a hullámfüggvényt. Tulajdonságaikat megvizsgálva láthatnánk, hogy transzformációs tulajdonságaik olyanok, mint egymás komplex konjugáltjaié. Megduplázódik a hullámfüggvény dimenziója, mivel a „komplex konjugált hullámfüggvény” transzformációja nem vezethető le a „hullámfüggvény” egyenletéből. Ez azért van, mert a nemrelativisztikus kvantummechanikával szemben most a hullámfüggvény és komplex konjugáltjának szorzata, ami egy valószínűségsűrűség, nem skalármennyiség, hanem egy négyesáramsűrűség időszerű komponense, s így elesik egy unitaritási feltétel a kétféle hullámfüggvény között. Egy tértükrözés viszont felcseréli a kétféle spinor transzformációs tulajdonságait, ezért ha a tértükrözéseket (ld. [[paritás]]) is magában foglaló leírást alkarunk, akkor mindkét spinorra szükségünk van. A két - kétkomponensű - spinort egyesíteni lehet tehát egy - négykomponensű - ''bispinorba'' vagy [[Dirac-spinor]]ba, legyen ez a hullámfüggvény.
ahol <math>\boldsymbol{\sigma}</math> a [[Pauli-mátrixok]]at jelöli, η és ξ pedig spinorok és ketten együtt alkotják a hullámfüggvényt. Tulajdonságaikat megvizsgálva láthatnánk, hogy transzformációs tulajdonságaik olyanok, mint egymás [[komplex konjugált]]<nowiki/>jaié. Megduplázódik a hullámfüggvény dimenziója, mivel a „komplex konjugált hullámfüggvény” transzformációja nem vezethető le a „hullámfüggvény” egyenletéből. Ez azért van, mert a nemrelativisztikus kvantummechanikával szemben most a hullámfüggvény és komplex konjugáltjának szorzata, ami egy valószínűségsűrűség, nem skalármennyiség, hanem egy négyesáramsűrűség időszerű komponense, s így elesik egy unitaritási feltétel a kétféle hullámfüggvény között. Egy tértükrözés viszont felcseréli a kétféle spinor transzformációs tulajdonságait, ezért ha a tértükrözéseket (ld. [[Paritás (fizika)|paritás]]) is magában foglaló leírást akarunk, akkor mindkét spinorra szükségünk van. A két - kétkomponensű - spinort egyesíteni lehet tehát egy - négykomponensű - ''bispinorba'' vagy [[Dirac-spinor]]ba, legyen ez a hullámfüggvény.


A [[Dirac-egyenlet]] felírható időderiváltra kifejezett alakban <math>\hbar=c=1</math> [[hvonás=c=1 egységrendszer|egységrendszerben]]:
A [[Dirac-egyenlet]] felírható időderiváltra kifejezett alakban <math>\hbar=c=1</math> [[hvonás=c=1 egységrendszer|egységrendszerben]]:
61. sor: 61. sor:
:<math>(i\gamma^\mu \partial_\mu-m)\psi=0 </math>
:<math>(i\gamma^\mu \partial_\mu-m)\psi=0 </math>


==A Lagrange-függvény felépítése==
== A Lagrange-függvény felépítése ==


Induljunk ki a Dirac-egyenlet koordináta-reperezentációbeli fenti alakjából. Triviálisan látható, hogy ez a következő [[Lagrange-függvény]]ből származtatható a [[hatáselv]] segítségével:
Induljunk ki a Dirac-egyenlet koordináta-reperezentációbeli fenti alakjából. Triviálisan látható, hogy ez a következő [[Lagrange-függvény]]ből származtatható a [[hatáselv]] segítségével:
75. sor: 75. sor:
:<math>\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - ieA_\mu </math>
:<math>\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - ieA_\mu </math>


Ez a csere egyébként megtehető a foton Lagrange-függvényében is, de annak alakján nem változtat, mert az új tagok kiejtik egymást (''ezért nincs a fotonoknak önkölcsönhatása, mert abeli a mértékcsoport''), azaz igaz a következő:
Ez a csere egyébként megtehető a foton Lagrange-függvényében is, de annak alakján nem változtat, mert az új tagok kiejtik egymást ''(ezért nincs a fotonoknak önkölcsönhatása, mert abeli a mértékcsoport)'', azaz igaz a következő:


:<math>F_{\mu\nu} = D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu\,\!</math>
:<math>F_{\mu\nu} = D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu\,\!</math>
87. sor: 87. sor:
:<math>\mathcal{L}_{kh}=\bar\psi e\gamma^\mu A_\mu\psi </math>
:<math>\mathcal{L}_{kh}=\bar\psi e\gamma^\mu A_\mu\psi </math>


==Feynman-gráfok==
== Feynman-gráfok ==


A [[Feynman-gráf]]ok vagy Feynman-diagramok az útintegrálok technikájában az integrál elemeivel (integrálás, propagátorok, szorzótényezők, változók) való egy-egyértelmű megfeleltetésből származtathatók, s a [[Lagrange-függvény]]ben előforduló anyagi (elektron) és sugárzási (foton) mezőkkel is egy-egyértelmű szemléletes összefüggésbe hozhatók. A lényeg a következőkben összegezhető. A Lagrange-függvény minden tagja megfelel egy vertexnek, amiben annyi részecskevonal találkozik, ahány mező (ugyanaz vagy különböző) az illető tagban előfordul.
A [[Feynman-gráf]]ok vagy Feynman-diagramok az útintegrálok technikájában az integrál elemeivel (integrálás, propagátorok, szorzótényezők, változók) való egy-egyértelmű megfeleltetésből származtathatók, s a [[Lagrange-függvény]]ben előforduló anyagi (elektron) és sugárzási (foton) mezőkkel is egy-egyértelmű szemléletes összefüggésbe hozhatók. A lényeg a következőkben összegezhető. A Lagrange-függvény minden tagja megfelel egy vertexnek, amiben annyi részecskevonal találkozik, ahány mező (ugyanaz vagy különböző) az illető tagban előfordul.


Ha két ilyen mező van, akkor ez nem igazi vertex, hiszen a bejövő mező ki is megy, azaz ez az illető mező (részecske) szabad terjedése. Ilyen tagban mindig azonos típusú részecskék fordulnak elő, különben megmaradási tétel sérülne, hiszen egy részecske spontán módon másikká alakulna külső hatás nélkül. Ilyenek a fenti ''szabad elektront és fotont'' leíró Lagrange-függvények.
Ha két ilyen mező van, akkor ez nem igazi vertex, hiszen a bejövő mező ki is megy, azaz ez az illető mező (részecske) szabad terjedése. Ilyen tagban mindig azonos típusú részecskék fordulnak elő, különben [[megmaradási tétel]] sérülne, hiszen egy részecske spontán módon másikká alakulna külső hatás nélkül. Ilyenek a fenti ''szabad elektront és fotont'' leíró Lagrange-függvények.


A mértékszabadság elektronra való kiterjesztésekor, a kovariáns deriváltra való áttéréskor fellépő ''kölcsönhatási tag'' viszont egy foton és két elektronvonalat tartalmaz. Ez egy igazi három részecskés vertex, ami a '''kvantumelektrodinamika''' egyetlen kölcsönhatási vertexe. Itt látjuk, hogy a kölcsönhatás szorosan kötődik a sugárzási mezőhöz, vagy ''mértékmezőhöz'' (jelen esetben a ''fotonhoz''), hiszen ennek mértékszabadságát kiterjesztve az anyagi mezőkre jön létre az anyagi mezők kölcsönhatása.
A mértékszabadság elektronra való kiterjesztésekor, a kovariáns deriváltra való áttéréskor fellépő ''kölcsönhatási tag'' viszont egy foton és két elektronvonalat tartalmaz. Ez egy igazi három részecskés vertex, ami a '''kvantumelektrodinamika''' egyetlen kölcsönhatási vertexe. Itt látjuk, hogy a kölcsönhatás szorosan kötődik a sugárzási mezőhöz, vagy ''mértékmezőhöz'' (jelen esetben a ''fotonhoz''), hiszen ennek mértékszabadságát kiterjesztve az anyagi mezőkre jön létre az anyagi mezők kölcsönhatása.
98. sor: 98. sor:


{|
{|
| [[Kép:QED vertex.png|frame|Az alapdiagram]]
| [[Fájl:QED vertex.png|frame|Az alapdiagram]]
|
|
| [[Kép:vacuum polarization.png|frame|Egyhurok-rendű hozzájárulás a [[vákuumpolarizáció]] Π függvényéhez]]
| [[Fájl:vacuum polarization.png|frame|Egyhurok-rendű hozzájárulás a [[vákuumpolarizáció]] Π függvényéhez]]
|
|
| [[Kép:electron self energy.png|frame|Egyhurok-rendű hozzájárulás az elektron [[sajátenergia]] Σ függvényéhez]]
| [[Fájl:electron self energy.png|frame|Egyhurok-rendű hozzájárulás az elektron [[sajátenergia]] Σ függvényéhez]]
|
|
| [[Kép:vertex correction.png|frame|Egyhurok-rendű hozzájárulás a &Gamma; [[vertexfüggvény]]hez]]
| [[Fájl:vertex correction.png|frame|Egyhurok-rendű hozzájárulás a Γ [[vertexfüggvény]]hez]]
|}
|}


==Renormálás==
== Renormálás ==


Egy kiválasztott fizikai folyamathoz mindig tartozik egy olyan gráf, amiben nem lépnek fel a fentihez hasonló hurkok. Ez az illető folyamat ''fagráfja'', amihez a korrekciókat a végtelen számban beilleszthető hurkok jelentik. Ezeknek a hurkoknak a hozzájárulása azonban végtelennek adódik, ellentétben azzal a várakozással, hogy minél magasabb rendű a járulék, annál kisebb korrekciót szolgáltasson. A kvantumelektrodinamika abban a szerencsés helyzetben van, hogy ezek a végtelenek beledefiniálhatók az elektron tömegébe és töltésébe, mert mindig azokkal ugyanolyan alakú kifejezésben lépnek fel, akármilyen korrekciót is számolunk. Így mondhatjuk, hogy nemcsak a korrekciók által szolgáltatott ''saját tömeg'' (ld. még [[klasszikus elektronsugár]]) és ''saját töltés'' végtelen, hanem a Lagrange-függvényben fellépő ''csupasz tömeg'' és ''csupasz töltés'' is. Azért hívjuk ezeket ''csupasz'' mennyiségeknek, mert hiányzik körülük az őket „felöltöztető” elektromágneses kölcsönhatás korrekciója, amit a magasabb rendű járulékok hurkai szolgáltatnak. Feynman a „pucér elektronról” és „fotonruhájáról” beszélt. A saját és csupasz mennyiségek együtt viszont a ''megfigyelhető vagy renormált töltéshez és tömeghez'' vezetnek, amiket kísérletileg kell meghatároznunk. A kvantumelektrodinamika ezen [[renormálás]]a a véletlen - azaz a Lagrange-függvény konkrét alakjának - következménye, más térelméletekben ez nincs feltétlenül így. A renormálhatóság nagyon fontos feltétele egy térelmélet használhatóságának, azaz jóságának.
Egy kiválasztott fizikai folyamathoz mindig tartozik egy olyan gráf, amiben nem lépnek fel a fentihez hasonló hurkok. Ez az illető folyamat ''fagráfja'', amihez a korrekciókat a végtelen számban beilleszthető hurkok jelentik. Ezeknek a hurkoknak a hozzájárulása azonban végtelennek adódik, ellentétben azzal a várakozással, hogy minél magasabb rendű a járulék, annál kisebb korrekciót szolgáltasson. A kvantumelektrodinamika abban a szerencsés helyzetben van, hogy ezek a végtelenek beledefiniálhatók az elektron tömegébe és töltésébe, mert mindig azokkal ugyanolyan alakú kifejezésben lépnek fel, akármilyen korrekciót is számolunk. Így mondhatjuk, hogy nemcsak a korrekciók által szolgáltatott ''saját tömeg'' (ld. még [[klasszikus elektronsugár]]) és ''saját töltés'' végtelen, hanem a Lagrange-függvényben fellépő ''csupasz tömeg'' és ''csupasz töltés'' is. Azért hívjuk ezeket ''csupasz'' mennyiségeknek, mert hiányzik körülük az őket „felöltöztető” elektromágneses kölcsönhatás korrekciója, amit a magasabb rendű járulékok hurkai szolgáltatnak. Feynman a „pucér elektronról” és „fotonruhájáról” beszélt. A saját és csupasz mennyiségek együtt viszont a ''megfigyelhető vagy renormált töltéshez és tömeghez'' vezetnek, amiket kísérletileg kell meghatároznunk. A kvantumelektrodinamika ezen [[renormálás]]a a véletlen - azaz a Lagrange-függvény konkrét alakjának - következménye, más térelméletekben ez nincs feltétlenül így. A renormálhatóság nagyon fontos feltétele egy térelmélet használhatóságának, azaz jóságának.


==A kvantumelektrodinamika hiányosságai==
== A kvantumelektrodinamika hiányosságai ==


Önmagában véve, saját hatókörében a kvantumelektrodinamika a legjobb létező térelmélet, egyes jóslatait a kísérletek 12 tizedesjegy pontossággal ellenőrizték. Problémái megegyeznek a [[standard modell]] problémáinak rá is vonatkozó részével:
Önmagában véve, saját hatókörében a kvantumelektrodinamika a legjobb létező térelmélet, egyes jóslatait a kísérletek 12 tizedesjegy pontossággal ellenőrizték. Problémái megegyeznek a [[standard modell]] problémáinak rá is vonatkozó részével:
118. sor: 118. sor:


{{Kvantummechanika}}
{{Kvantummechanika}}
{{Nemzetközi katalógusok}}
{{Portál|Fizika}}


[[Kategória:Elektrodinamika]]
[[Kategória:Elektrodinamika]]
[[Kategória:Kvantumfizika]]
[[Kategória:Kvantumtérelmélet]]
[[Kategória:Részecskefizika]]
[[Kategória:Standard modell]]

[[en:Quantum electrodynamics]]
[[bg:Квантова електродинамика]]
[[bn:কোয়ান্টাম তড়িৎ-গতিবিজ্ঞান]]
[[bs:Kvantna elektrodinamika]]
[[ca:Electrodinàmica quàntica]]
[[cs:Kvantová elektrodynamika]]
[[de:Quantenelektrodynamik]]
[[es:Electrodinámica cuántica]]
[[fa:الکترودینامیک کوانتومی]]
[[fi:Kvanttisähködynamiikka]]
[[fr:Électrodynamique quantique]]
[[gl:Electrodinámica cuántica]]
[[he:אלקטרודינמיקה קוונטית]]
[[hr:Kvantna elektrodinamika]]
[[it:Elettrodinamica quantistica]]
[[ja:量子電磁力学]]
[[ka:კვანტური ელექტროდინამიკა]]
[[ko:양자전기역학]]
[[nl:Kwantumelektrodynamica]]
[[no:Kvanteelektrodynamikk]]
[[pl:Elektrodynamika kwantowa]]
[[pt:Eletrodinâmica quântica]]
[[ru:Квантовая электродинамика]]
[[sk:Kvantová elektrodynamika]]
[[sq:Elektrodinamika kuantike]]
[[sv:Kvantelektrodynamik]]
[[tr:Kuvantum elektrodinamiği]]
[[uk:Квантова електродинаміка]]
[[zh:量子電動力學]]

A lap jelenlegi, 2021. augusztus 28., 16:16-kori változata

A kvantum-elektrodinamika (QED) az elektrodinamika, azaz a részecskék elektromágneses kölcsönhatásának kvantumelmélete. Ez az első, a fizikai valóságot sikeresen leíró kerek kvantumtérelmélet, ami Feynman, Dyson, Tomonaga és Schwinger munkássága alapján nyerte el végső formáját az 1940-es évektől kezdődően, folytatódva az 1950-es években, s amiért 1965-ben Feynman, Tomonaga és Schwinger megosztott fizikai Nobel-díjat kapott.

Az elmélet felépítéséhez a kvantumelmélet keretei között a hatáselvet alkalmazzuk, azaz a klasszikus elektrodinamika által szolgáltatott energiakifejezésekből felépítjük a Lagrange-függvényt, amit a klasszikus mértékszabadság kvantumelméleti alkalmazásával teszünk teljessé.

Története[szerkesztés]

A kvantummechanika fejlődése a fény kettős természetének felismerésével: a feketetest-sugárzás (Max Planck 1900) és a fotoeffektus magyarázatával (Albert Einstein 1905), a foton felfedezésével kezdődött. Az elektromágneses kölcsönhatás alapvető szerepet játszott a kvantummechanika, s ugyanakkor a speciális relativitáselmélet megszületésében. Louis de Broglie (1924) tette általánossá a hullám-részecske kettősség elvét, kimondva, hogy minden anyagi részecskének van hullámtermészete is.

Egy tömegpontot nemrelativisztikus esetben a Schrödinger-egyenlet (Erwin Schrödinger, 1926), relativisztikus esetben a Dirac-egyenlet (Paul Dirac, 1928) ír le. A hidrogénatom színképvonalait (energiaszintjeit) a nemrelativisztikus egyenlet nem túl jól közelíti (más atomokra és molekulákra már pontosabb eredményt ad), a relativisztikus egyenletből adódó eredmények pontossága jó bizonyítéka a relativitáselméletnek. Ezek az egyenletek azonban az elektromágneses teret a Hamilton-operátorba tett energiatagként („klasszikus” potenciálként) kezelik, s nem alkalmasak a fotonnak, mint részecskének a leírására a foton fénysebessége és nulla tömege miatt.

Lehetséges azonban kvantálni (kanonikus kvantálás) a harmonikus oszcillátor analógiájára a Maxwell-egyenletekből származó energiakifejezést (Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan 1926, úgyhogy tiszta sugárzási tér esetén a „Schrödinger-egyenlet” szerepét tulajdonképpen a Maxwell-egyenletek játsszák. Jordan 1927-ben általánosította a kanonikus kvantálás módszerét részecsketerekre és a második kvantálás nevet adta neki. A kanonikus kvantálás során a hullámfüggvényben (részecske)keltő és eltüntető operátorok jelennek meg, ami lehetővé teszi a kölcsönhatás során változó részecskeszám leírását. Vladimir Fock 1928-ban konstruálta meg a részecskeszámok változását leíró Hilbert-teret amit Dirac nevezett el Fock-térnek vagy Fock-reprezentációnak. Ezt betöltési szám reprezentációként is ismerjük.

Ezeken az alapokon egymástól függetlenül 1946-ban Tomonaga és 1948-ban Schwinger felépítette a kvantumelektrodinamika kerek elméletét. Ennek során perturbációszámítással tetszőleges pontossággal tudták reprodukálni a kísérleti eredményeket, miután megoldottak egy rémítő problémát. A számolások magasabb rendjében ugyanis a „korrekciók” végtelennek adódtak. Rájöttek azonban, hogy ez az elektron sajáttömegének és sajáttöltésének végtelen volta miatt van így (ld. klasszikus elektronsugár). Amit a kvantumelektrodinamikai számítások során a Lagrange-függvényben viszont az ún. csupasz tömeg és csupasz töltés van jelen, s a két végtelen mennyiség „különbsége” adja a megfigyelhető tömeget és töltést. Az összes fellépő végtelen ezen két típus valamelyikébe tartozott, így a végtelenek konzekvens módon eltávolíthatónak bizonyultak. Eljárásukat renormálásnak hívjuk.

Feynman más úton, operátorok helyett útintegrálok segítségével építette fel a kvantumelektrodinamikát és megmutatta, hogy közvetlenül a Lagrange-függvény alapján gráftechnikájával (Feynman-gráf) felépíthető az összes lehetséges kezdő és végállapotra az összes közbülső állapotra (alapállapot és korrekciók) vonatkozó valószínűségi integrálkifejezés. Erről a technikáról Dyson (például Dyson-operátor vagy időfejlesztő operátor) mutatta meg, hogy ekvivalens Tomonaga és Schwinger módszerével. Feynman, Tomonaga és Schwinger 1965-ben Nobel-díjat kaptak.

Töltött részecske mozgásegyenlete[szerkesztés]

Nemrelativisztikus egyenlet (Schrödinger-egyenlet)[szerkesztés]

Töltés nemrelativisztikus mozgását elektromágneses térben a kvantummechanika első általános egyenlete, a Schrödinger-egyenlet írja le. A szabad tömegpont egyenletét:

,   ahol  

ki kell egészítenünk egy kölcsönhatási taggal, ami például elektromos tér esetén az elektromos potenciállal írható le:

Hidrogénatom esetén koordinátareprezentációban:

az elektron hullámfüggvénye, ami egy hely- és egy spinfüggő rész szorzataként írható fel nemrelativisztikus esetben. Általában itt a hullámfüggvény két része egymástól függetlenül kezelhető. A spinhullámfüggvény egy kétdimenziós általában konstans spinor.

Relativisztikus egyenlet (Dirac-egyenlet)[szerkesztés]

A speciális relativitáselméletben az energia és az impulzus egy négyesvektort alkot, ezért csak olyan egyenlet lehet Lorentz-kovariáns, amiben az energia és az impulzus azonos rendben, méghozzá lineárisan szerepelnek. A Schrödinger-egyenlet nem jó, mert abban az impulzus négyzete szerepel. Ha viszont a relativisztikus energia-impulzus-tömeg kifejezésből indulunk ki:

akkor ezt operátorosítva az energiát és az impulzust (ill. azok operátorát) is másodrendben találnánk egyenletünkben. „Gyököt” vonhatunk azonban az egyenletből Dirac ötlete nyomán úgy, hogy két impulzusreprezentációbeli egyenletehez jutunk, ahol a fenti kifejtésnek megfelelően már minden mennyiség lineárisan szerepel:

ahol a Pauli-mátrixokat jelöli, η és ξ pedig spinorok és ketten együtt alkotják a hullámfüggvényt. Tulajdonságaikat megvizsgálva láthatnánk, hogy transzformációs tulajdonságaik olyanok, mint egymás komplex konjugáltjaié. Megduplázódik a hullámfüggvény dimenziója, mivel a „komplex konjugált hullámfüggvény” transzformációja nem vezethető le a „hullámfüggvény” egyenletéből. Ez azért van, mert a nemrelativisztikus kvantummechanikával szemben most a hullámfüggvény és komplex konjugáltjának szorzata, ami egy valószínűségsűrűség, nem skalármennyiség, hanem egy négyesáramsűrűség időszerű komponense, s így elesik egy unitaritási feltétel a kétféle hullámfüggvény között. Egy tértükrözés viszont felcseréli a kétféle spinor transzformációs tulajdonságait, ezért ha a tértükrözéseket (ld. paritás) is magában foglaló leírást akarunk, akkor mindkét spinorra szükségünk van. A két - kétkomponensű - spinort egyesíteni lehet tehát egy - négykomponensű - bispinorba vagy Dirac-spinorba, legyen ez a hullámfüggvény.

A Dirac-egyenlet felírható időderiváltra kifejezett alakban egységrendszerben:

ahol Ψ bispinor és impulzusreprezentációban:

ahol a négy Dirac-mátrix.

A Dirac-egyenlet koordinátareprezentációban, átalakítva explicit kovariáns alakba:

A Lagrange-függvény felépítése[szerkesztés]

Induljunk ki a Dirac-egyenlet koordináta-reperezentációbeli fenti alakjából. Triviálisan látható, hogy ez a következő Lagrange-függvényből származtatható a hatáselv segítségével:

ahol a hullámfüggvény adjungáltja, azaz a komplex konjugált szorzata a nulladik Dirac-mátrixszal. Az adjungált a fentebb elmondottak szerint önállóan transzformálódik, ezért önállóan variálható a hatáselv alkalmazása során, s miután ennek a deriváltja nem szerepel a Lagrange-függvényben, az ennek megfelelő Euler-Lagrange-egyenlet tényleg triviálisan a fenti Dirac-egyenlet. A sugárzási térre (fotonra) a klasszikus (maxwelli) elektrodinamika energiakifejezését használjuk:

  ahol  

A foton Lagrange-függvényére teljesül a mértékszabadság követelménye, amit úgy terjeszthetünk ki az elektronra is, ha a deriváltat kovariáns derivaltra cseréljük:

Ez a csere egyébként megtehető a foton Lagrange-függvényében is, de annak alakján nem változtat, mert az új tagok kiejtik egymást (ezért nincs a fotonoknak önkölcsönhatása, mert abeli a mértékcsoport), azaz igaz a következő:

Végeredményben az elektront és fotont tartalmazó kvantumelektrodinamika Lagrange-függvénye:

Különös jelentősége van a mértékszabadság kirovásakor fellépő új tagnak, ez írja le a foton és az elektron kölcsönhatását:

Feynman-gráfok[szerkesztés]

A Feynman-gráfok vagy Feynman-diagramok az útintegrálok technikájában az integrál elemeivel (integrálás, propagátorok, szorzótényezők, változók) való egy-egyértelmű megfeleltetésből származtathatók, s a Lagrange-függvényben előforduló anyagi (elektron) és sugárzási (foton) mezőkkel is egy-egyértelmű szemléletes összefüggésbe hozhatók. A lényeg a következőkben összegezhető. A Lagrange-függvény minden tagja megfelel egy vertexnek, amiben annyi részecskevonal találkozik, ahány mező (ugyanaz vagy különböző) az illető tagban előfordul.

Ha két ilyen mező van, akkor ez nem igazi vertex, hiszen a bejövő mező ki is megy, azaz ez az illető mező (részecske) szabad terjedése. Ilyen tagban mindig azonos típusú részecskék fordulnak elő, különben megmaradási tétel sérülne, hiszen egy részecske spontán módon másikká alakulna külső hatás nélkül. Ilyenek a fenti szabad elektront és fotont leíró Lagrange-függvények.

A mértékszabadság elektronra való kiterjesztésekor, a kovariáns deriváltra való áttéréskor fellépő kölcsönhatási tag viszont egy foton és két elektronvonalat tartalmaz. Ez egy igazi három részecskés vertex, ami a kvantumelektrodinamika egyetlen kölcsönhatási vertexe. Itt látjuk, hogy a kölcsönhatás szorosan kötődik a sugárzási mezőhöz, vagy mértékmezőhöz (jelen esetben a fotonhoz), hiszen ennek mértékszabadságát kiterjesztve az anyagi mezőkre jön létre az anyagi mezők kölcsönhatása.

Több alapgráfból tetszőleges nagyságú összetett diagramok felépíthetők úgy, hogy két-két alapgráf egy-egy azonos típusú vonalát összekötjük, s így újabb lehetséges fizikai folyamatok jönnek létre. Az alábbi első két gráf két, a harmadik három alapgráfból rakható össze:

Az alapdiagram
Egyhurok-rendű hozzájárulás a vákuumpolarizáció Π függvényéhez
Egyhurok-rendű hozzájárulás az elektron sajátenergia Σ függvényéhez
Egyhurok-rendű hozzájárulás a Γ vertexfüggvényhez

Renormálás[szerkesztés]

Egy kiválasztott fizikai folyamathoz mindig tartozik egy olyan gráf, amiben nem lépnek fel a fentihez hasonló hurkok. Ez az illető folyamat fagráfja, amihez a korrekciókat a végtelen számban beilleszthető hurkok jelentik. Ezeknek a hurkoknak a hozzájárulása azonban végtelennek adódik, ellentétben azzal a várakozással, hogy minél magasabb rendű a járulék, annál kisebb korrekciót szolgáltasson. A kvantumelektrodinamika abban a szerencsés helyzetben van, hogy ezek a végtelenek beledefiniálhatók az elektron tömegébe és töltésébe, mert mindig azokkal ugyanolyan alakú kifejezésben lépnek fel, akármilyen korrekciót is számolunk. Így mondhatjuk, hogy nemcsak a korrekciók által szolgáltatott saját tömeg (ld. még klasszikus elektronsugár) és saját töltés végtelen, hanem a Lagrange-függvényben fellépő csupasz tömeg és csupasz töltés is. Azért hívjuk ezeket csupasz mennyiségeknek, mert hiányzik körülük az őket „felöltöztető” elektromágneses kölcsönhatás korrekciója, amit a magasabb rendű járulékok hurkai szolgáltatnak. Feynman a „pucér elektronról” és „fotonruhájáról” beszélt. A saját és csupasz mennyiségek együtt viszont a megfigyelhető vagy renormált töltéshez és tömeghez vezetnek, amiket kísérletileg kell meghatároznunk. A kvantumelektrodinamika ezen renormálása a véletlen - azaz a Lagrange-függvény konkrét alakjának - következménye, más térelméletekben ez nincs feltétlenül így. A renormálhatóság nagyon fontos feltétele egy térelmélet használhatóságának, azaz jóságának.

A kvantumelektrodinamika hiányosságai[szerkesztés]

Önmagában véve, saját hatókörében a kvantumelektrodinamika a legjobb létező térelmélet, egyes jóslatait a kísérletek 12 tizedesjegy pontossággal ellenőrizték. Problémái megegyeznek a standard modell problémáinak rá is vonatkozó részével:

  • Nem magyarázza meg az elektromos töltés kvantáltságát.
  • A csatolási állandó (elemi töltés) értéke az energiával növekszik. Ez nyilván nem tarthat a végtelenig, mi történik végül egy nagy energián?