Ugrás a tartalomhoz

„Gumbel-eloszlás” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
DanjanBot (vitalap | szerkesztései)
Nincs szerkesztési összefoglaló
Címkék: Vizuális szerkesztés Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés
 
(5 közbenső módosítás, amit 5 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
[[Fájl:GumbelDichteF.svg|bélyegkép|jobbra|350px|A Gumbel-eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterek esetén]]
[[Fájl:GumbelDichteF.svg|bélyegkép|jobbra|350px|A Gumbel-eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterek esetén]]
A [[valószínűség-számítás]] elméletében és a [[statisztika]] területén a '''Gumbel-eloszlás''' egy olyan [[eloszlásfüggvény|valószínűség-eloszlás]], mely különböző eloszlások mintái alapján a maximum vagy minimum értékek eloszlásait jósolja meg.
A [[valószínűségszámítás]] elméletében és a [[statisztika]] területén a '''Gumbel-eloszlás''' egy olyan [[eloszlásfüggvény|valószínűség-eloszlás]], mely különböző eloszlások mintái alapján a maximum vagy minimum értékek eloszlásait jósolja meg.


Az eloszlást kidolgozójáról, [[Emil Julius Gumbel]]ról nevezték el, aki [[németek|német]] [[matematikus]] volt (1891–1966).
Az eloszlást kidolgozójáról, [[Emil Julius Gumbel]]ról nevezték el, aki [[németek|német]] [[matematikus]] volt (1891–1966).
7. sor: 7. sor:
Továbbá hasznos lehet megjósolni egy nagy [[földrengés]], áradás vagy más természeti katasztrófa valószínűségét is, melyre a Gumbel-eloszlás alkalmas.
Továbbá hasznos lehet megjósolni egy nagy [[földrengés]], áradás vagy más természeti katasztrófa valószínűségét is, melyre a Gumbel-eloszlás alkalmas.


A Gumbel-eloszlás az általánosított [[extrémérték-eloszlás]] partikuláris esete (Fisher-Tippett eloszlásnak is hívják), továbbá log-Weibull eloszlásként , és dupla-exponenciális eloszlásként is ismert. Időnként helytelenül a [[Gompertz-eloszlás]]sal azonosítják.
A Gumbel-eloszlás az általánosított [[extrémérték-eloszlás]] partikuláris esete (Fisher-Tippett eloszlásnak is hívják), továbbá log-Weibull eloszlásként és dupla-exponenciális eloszlásként is ismert. Időnként helytelenül a [[Gompertz-eloszlás]]sal azonosítják.


==Tulajdonságok==
==Tulajdonságok==


A Gumbel eloszlás kumulatív eloszlás függvénye:
A Gumbel eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:
:<math>F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}.\,</math>
:<math>F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}.\,</math>


A [[medián]]: <math>\mu-\beta \ln\left(\ln 2\right)</math>
A [[medián]]: <math>\mu-\beta \ln\left(\ln 2\right)</math>


A középérték:
A középérték:


<math>\mu+\gamma\beta</math>
<math>\mu+\gamma\beta</math>
ahol <math>\gamma</math> = [[Euler-Mascheroni állandó]] <math>\approx</math> 0.5772156649015328606
ahol <math>\gamma</math> = [[Euler-Mascheroni állandó]] <math>\approx</math> 0.5772156649015328606


A standard eltérés:
A standard eltérés:


:<math>\beta \pi/\sqrt{6}.\,</math>
:<math>\beta \pi/\sqrt{6}.\,</math>


A [[módusz]]: μ
A [[módusz]]: μ


===A standard Gumbel-eloszlás===
===A standard Gumbel-eloszlás===
A standard Gumbel-eloszlás az az eset, amikor μ = 0 és β = 1, a kumulatív eloszlás függvénnyel:
A standard Gumbel-eloszlás az az eset, amikor μ = 0 és β = 1, a kumulatív eloszlásfüggvénnyel:
:<math>F(x) = e^{-e^{(-x)}}\,</math>
:<math>F(x) = e^{-e^{(-x)}}\,</math>
és a valószínűség sűrűség függvény
és a valószínűség sűrűségfüggvény
:<math>f(x) = e^{-x} e^{-e^{-x}}.</math>
:<math>f(x) = e^{-x} e^{-e^{-x}}.</math>
The medián: <math>-\ln(\ln(2)) \approx</math> 0.36651292058166432701.


A középérték: <math>\gamma</math>,
A medián: <math>-\ln(\ln(2)) \approx</math> 0.36651292058166432701.

A középérték: <math>\gamma</math>,
[[Euler-Mascheroni állandó]] <math>\approx</math> 0.5772156649015328606.
[[Euler-Mascheroni állandó]] <math>\approx</math> 0.5772156649015328606.


51. sor: 52. sor:


Ha adva van egy U valószínűségi változó az állandó eloszlásból <nowiki>[0,&nbsp;1]</nowiki> tartományban, akkor a valószínűségi változó Gumbel eloszlású μ és β paraméterekkel.
Ha adva van egy U valószínűségi változó az állandó eloszlásból <nowiki>[0,&nbsp;1]</nowiki> tartományban, akkor a valószínűségi változó Gumbel eloszlású μ és β paraméterekkel.
Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik.
Ez a kumulatív eloszlásfüggvényből következik.


:<math>X=\mu-\beta\ln(-\ln(U))\,</math>
:<math>X=\mu-\beta\ln(-\ln(U))\,</math>


==Kapcsolódó eloszlások==
==Kapcsolódó eloszlások==
* Ha Y-nál a cdf a Gumbel standard kumulatív eloszlás ellentéte, <math>P(Y \leq y) = 1 - F(y)</math>, akkor Y egy [[Gompertz-eloszlás]].<ref>Willemse, W. J. and Kaas, R., "Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz’ law of mortality", ''Insurance: Mathematics and Economics'', 40 (3) (2007), 468–484.</ref>
* Ha Y-nál a cdf a Gumbel standard kumulatív eloszlás ellentéte, <math>P(Y \leq y) = 1 - F(y)</math>, akkor Y egy [[Gompertz-eloszlás]].<ref>Willemse, W. J. and Kaas, R., "Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz’ law of mortality", ''Insurance: Mathematics and Economics'', 40 (3) (2007), 468–484.</ref>


* [[1. típusú Gumbel-eloszlás]]
* [[1. típusú Gumbel-eloszlás]]
63. sor: 64. sor:
==Alkalmazás==
==Alkalmazás==


Gumbel kimutatta, hogy egy [[valószínűségi változó]] mintájában a maximimális érték, mely [[exponenciális eloszlás]]t követ, a Gumbel-eloszláshoz közelít a minták számának növelésével.<ref>Gumbel, E.J. 1954. Statistical theory of extreme values and some practical applications. Applied mathematics series 33. U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards.</ref>
Gumbel kimutatta, hogy egy [[valószínűségi változó]] mintájában a maximális érték, mely [[exponenciális eloszlás]]t követ, a Gumbel-eloszláshoz közelít a minták számának növelésével.<ref>Gumbel, E. J. 1954. Statistical theory of extreme values and some practical applications. Applied mathematics series 33. U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards.</ref>


Ezért a Gumbel-eloszlást használják a hidrológiában a napi-, havi-, és évi esőzések maximumának jóslására, valamint a folyók szélsőséges mozgására.<ref>{{cite book|last=Ritzema (ed.)|first=H.P.|title=Frequency and Regression Analysis|year=1994|publisher=Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands|pages=175–224|url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf|isbn=90 70754 3 39}}</ref>
Ezért a Gumbel-eloszlást használják a hidrológiában a napi, havi és évi esőzések maximumának jóslására, valamint a folyók szélsőséges mozgására.<ref>{{cite book|last=Ritzema (ed.)|first=H.P.|title=Frequency and Regression Analysis|year=1994|publisher=Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands|pages=175–224|url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf|isbn=90 70754 3 39}}</ref>


Gumbel azt is kimutatta, hogy a <big>''r'' / (''n''+1)</big> [[esztimátor]] egy esemény valószínűségére – ahol ''r'' egy adat sorozat sorszáma és ''n'' az összes megfigyelés száma –
Gumbel azt is kimutatta, hogy a <big>''r'' / (''n''+1)</big> [[esztimátor]] egy esemény valószínűségére – ahol ''r'' egy adatsorozat sorszáma és ''n'' az összes megfigyelés száma – adott kumulatív valószínűség, eltérés nélküli esztimátor, ezért ezt az esztimátort gyakorta használják ábrázolásra is.
adott kumulatív valószínűség, eltérés nélküli esztimátor, ezért ezt az esztimátort gyakorta használják ábrázolásra is.


==Jegyzetek==
==Jegyzetek==
77. sor: 77. sor:
* [[1. típusú Gumbel-eloszlás]]
* [[1. típusú Gumbel-eloszlás]]
* [[2. típusú Gumbel-eloszlás]]
* [[2. típusú Gumbel-eloszlás]]
* [[Valószínűség-számítás]]
* [[Statisztika]]
* [[Statisztika]]
* [[Matematikai statisztika]]
* [[Normális eloszlás]]
* [[Normális eloszlás]]
* [[Exponenciális eloszlás]]
* [[Exponenciális eloszlás]]
* [[Szórás (valószínűség-számítás)|Szórás]]
* [[Szórás (valószínűségszámítás)|Szórás]]
* [[Gamma-eloszlás]]
* [[Gamma-eloszlás]]
* [[Valószínűségi változó]]
* [[Szórásnégyzet]]
* [[Karakterisztikus függvény]]
* [[Lapultság]]
* [[Lapultság]]
* [[poli-Weibull-eloszlás]]
* [[poli-Weibull-eloszlás]]
97. sor: 92. sor:
{{DEFAULTSORT:Gumbeleloszlas}}
{{DEFAULTSORT:Gumbeleloszlas}}
[[Kategória:Valószínűség-eloszlások]]
[[Kategória:Valószínűség-eloszlások]]

[[en:Gumbel distribution]]
[[de:Gumbel-Verteilung]]
[[es:Distribución de Gumbel]]
[[fr:Distribution de Gumbel]]
[[ja:ガンベル分布]]
[[nl:Gumbel-verdeling]]
[[pt:Distribuição de Gumbel]]
[[sl:Gumbelova porazdelitev]]

A lap jelenlegi, 2020. január 8., 15:27-kori változata

A Gumbel-eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterek esetén

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Gumbel-eloszlás egy olyan valószínűség-eloszlás, mely különböző eloszlások mintái alapján a maximum vagy minimum értékek eloszlásait jósolja meg.

Az eloszlást kidolgozójáról, Emil Julius Gumbelról nevezték el, aki német matematikus volt (1891–1966).

Az eloszlás alkalmazására egy példa: A Gumbel-eloszlás használható arra az esetre, amikor egy folyó maximális szintjének eloszlására vagyunk kíváncsiak egy adott évben, ha ismerjük az elmúlt 10 év maximális értékeit. Továbbá hasznos lehet megjósolni egy nagy földrengés, áradás vagy más természeti katasztrófa valószínűségét is, melyre a Gumbel-eloszlás alkalmas.

A Gumbel-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás partikuláris esete (Fisher-Tippett eloszlásnak is hívják), továbbá log-Weibull eloszlásként és dupla-exponenciális eloszlásként is ismert. Időnként helytelenül a Gompertz-eloszlással azonosítják.

Tulajdonságok

[szerkesztés]

A Gumbel eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

A medián:

A középérték:

ahol = Euler-Mascheroni állandó 0.5772156649015328606

A standard eltérés:

A módusz: μ

A standard Gumbel-eloszlás

[szerkesztés]

A standard Gumbel-eloszlás az az eset, amikor μ = 0 és β = 1, a kumulatív eloszlásfüggvénnyel:

és a valószínűség sűrűségfüggvény

A medián: 0.36651292058166432701.

A középérték: , Euler-Mascheroni állandó 0.5772156649015328606.

A standard eltérés:

1.28254983016186409554.

A módusz: 0.

Paraméter becslés

[szerkesztés]

Az eloszlás egy gyakorlatiasabb használati módja lehet:

ahol M a medián.

Gumbel valószínűségi változók generálása

[szerkesztés]

Ha adva van egy U valószínűségi változó az állandó eloszlásból [0, 1] tartományban, akkor a valószínűségi változó Gumbel eloszlású μ és β paraméterekkel. Ez a kumulatív eloszlásfüggvényből következik.

Kapcsolódó eloszlások

[szerkesztés]
  • Ha Y-nál a cdf a Gumbel standard kumulatív eloszlás ellentéte, , akkor Y egy Gompertz-eloszlás.[1]

Alkalmazás

[szerkesztés]

Gumbel kimutatta, hogy egy valószínűségi változó mintájában a maximális érték, mely exponenciális eloszlást követ, a Gumbel-eloszláshoz közelít a minták számának növelésével.[2]

Ezért a Gumbel-eloszlást használják a hidrológiában a napi, havi és évi esőzések maximumának jóslására, valamint a folyók szélsőséges mozgására.[3]

Gumbel azt is kimutatta, hogy a r / (n+1) esztimátor egy esemény valószínűségére – ahol r egy adatsorozat sorszáma és n az összes megfigyelés száma – adott kumulatív valószínűség, eltérés nélküli esztimátor, ezért ezt az esztimátort gyakorta használják ábrázolásra is.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Willemse, W. J. and Kaas, R., "Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz’ law of mortality", Insurance: Mathematics and Economics, 40 (3) (2007), 468–484.
  2. Gumbel, E. J. 1954. Statistical theory of extreme values and some practical applications. Applied mathematics series 33. U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards.
  3. Ritzema (ed.), H.P.. Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands, 175–224. o. (1994). ISBN 90 70754 3 39 

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]