Izomorfia

Az izomorfia két matematikai struktúrának az a tulajdonsága (kölcsönös viszonya ), hogy elemeik a strukturális tulajdonságokat megőrizve egymásra kölcsönösen egyértelműen (bijektíven) leképezhetők. A struktúramegőrző és kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezést, amely az izomorfia létét bizonyítja, nevezzük izomorfizmusnak.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a két struktúra „tulajdonképpen” ugyanaz, csak az elemeik másképp vannak elnevezve, jelölve.

A modern algebra alapvető fogalma. Két halmaz, amelyeken ugyanolyan algebrai struktúra (pl. csoport, gyűrű stb.) van értelmezve izomorf, ha megadható a két halmaznak olyan egymásra való, kölcsönösen egyértelmű leképezése, amely a struktúra műveleteivel összhangban van.

Példák:

• ha adott az (N, +) struktúra, vagyis a természetes számok halmaza az összeadással, továbbá a (2N, +) struktúra, vagyis a páros számok halmaza az összeadással, akkor az f:N->2N; f(x)=2x algebrai leképezés egy izomorfizmus, és így a két struktúra algebrailag izomorf. A leképezés ugyanis 1). kölcsönösen egyértelmű, hiszen minden természetes számnak van kétszerese, mégpedig pontosan egy; továbbá 2). művelettartó, vagyis struktúramegőrző, mert f(n+m)=2(n+m)=2n+2m=f(n)+f(m). Tehát a függvény „megőrzi” a műveletet: ha az egyik struktúrában két elem összege valami, akkor ennek képe a másik struktúrában a két elem képének összege.
• két csoport G és G' izomorf, ha megadható G-nek olyan G'-re való kölcsönösen egyértelmű leképezése, hogyha G a, b és c elemeinek G'-ben megfelelő elemeket a', b' és c' jelölik és ab = c, akkor a'b' = c'. Más szóval G két eleme szorzatának "képe" G'-ben a két elem G'-beli "képének" szorzatával egyenlő. Ha a képhalmaz azonos az eredeti halmazzal, az izomorfizmust automorfizmusnak nevezzük.

Forrás

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK