Նյուտոնի երկանդամ

Պասկալի եռանկյունի

Նյուտոնի երկանդամ, բանաձև, որը հնարավորություն է տալիս ցանկացած աստիճանի բազմանդամ վերլուծել և ներկայացնել անդամների գումարի տեսքով.

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}$

որտեղ ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$-ը համարվում է երկանդամի գործակից, իսկ $n$-ը ցանկացած բնական թիվ։ Այս բանաձևը հայտնի է եղել հնդկական և իսլամական մաթեմատիկայում։ Նյուտոնը ստեղծել է այս բանաձևը ցանկացած աստիճանի համար՝ նույնիսկ իրական և կոմպլեքս թվերի համար։

Ապացույց

Ապացուցում  

Երբ $n=0$ երկանդամը ընդունում է $1$ արժեքը.

$(a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}}a^{0}b^{0}$

Ինդուկցիոն քայլեր. ցանկացած $n$-ի դեպքում՝

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Ապացուցենք $n+1$-ի համար.

$(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

Սկսենք ապացույցը.

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}\quad +\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$

Երբ $k=0$.

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}$

Երբ $k=n$.

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}$

$a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right)a^{n-k+1}b^{k}=$

$=\sum _{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

Ապացուցված է։

Ընդհանրացում

Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը հանդիսանում է $(1+x)^{r}$ ֆունկցիայի մասնավոր դեպքը՝ Թեյլորի շարքից.

$(1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}$,

որտեղ r-ը կարող է լինել կոմպլեքս թիվ։ Այս ընդլայման գործակիցները կան բանաձևի մեջ.

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}\,$

Այս շարքում՝

$(1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...$

$|z|\leq 1$

Մասնավորապես եթե $z={\frac {1}{m}}$ և $\alpha =x\cdot m$, ապա ստացվում է այսպես.

$\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .$

Երբ $m\to \infty$ և $\lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e$ ապա.

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,$:

Բազմանդամային թեորեմ

Այս բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած թվի համար.

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0,k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},$,

որտեղ $\textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}$։

Պատմություն

Երկար ժամանակ համարվում էր, որ բնական ցուցիչով աստիճանի համար այս բանաձևը, հայտնաբերել է Բլեզ Պասկալը՝ 17-րդդարում։ Մի քանի պատմաբաններ կարծում էին, որ այս բանաձևը հայտնաբերել է ճապոնացի մաթեմաթիկոս Յանու Խուեյուն, որը ապրել է 18-րդդարում, և նույնիսկ իսլամական մաթեմաթիկոս ատ Տուին (18-րդդար) և ալ Կաշին (15-րդդար)։

1676 թվականին Իսահակ Նյուտոնը ամփոփել է այս բանաձևը։

Գեղարվեստական գրականության մեջ

Գեղարվեստական գրականության մեջ Նյուտոնի երկանդամը հիշատակվում է մի քանի համատեքստերում, որտեղ խոսվում է բարդ բաների մասին։

• Արթուր Կոնան Դոյլի «Հոլմսի վերջին գործը» պատմվածքի մեջ, Հոլմսը ասում է մաթեմաթիկայի պրոֆեսոր Մորիարտիին.

Երբ լրացավ նրա 21 տարին նա աշխատություն գրեց Նյուտոնի երկանդամի մասին, որի շնորհիվ հայտնի դարձավ ողջ Եվրոպայում։ Դրանից հետո նա գավառական համալսարաններից մեկում մաթեմատիկայի ամբիոնում աշխատանքի տեղ ստացավ, և ամենայն հավանականությամբ, նրան հիանալի կարիերա էր սպասում

• Հայտնի է Մ. Ա. Բուլգակովի «Վարպետը և Մարգարիտան» վեպի մեջբերումը. «Իմացի՛ր, Նյուտոնի երկանդամը»։ Ավելի ուշ այդ արտահայտությունը հիշատակվել է Ա. Ա. Տարկովսկու «Ստալկեր» ֆիլմում։

Տես նաև

• Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր
• Երկանդամի գործակից