Equazione differenziale: differenze tra le versioni
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In [[analisi matematica]] un''''equazione differenziale''' è un'[[equazione]] che lega una [[Funzione (matematica)|funzione]] incognita alle sue [[Derivata|derivate]]: se la funzione è di una sola variabile e l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie, viene detta [[equazione differenziale ordinaria]]; se, invece, la funzione è a più variabili e l'equazione contiene [[
== Storia ==
Lo studio delle equazioni differenziali ha avuto inizio in seguito all'introduzione del [[calcolo infinitesimale]] da parte di [[Isaac Newton|Newton]] e [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] nel
:<math>\frac {dy}{dx} = f(x) \qquad \frac {dy}{dx} = f(x,y)</math>
e una con [[
:<math>x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y</math>
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Ne risolve inoltre un esempio per ognuna delle tipologie, esprimendo il termine non derivato come serie di potenze e ponendo che abbiano come soluzione delle [[serie]] infinite, di cui nota che i coefficienti possono essere scelti in maniera arbitraria producendo così un'infinità di soluzioni particolari.<ref>[http://www2.fiu.edu/~yuasun/ODE_History.pdf John E. Sasser - History of Ordinary Differential Equations: The First Hundred Years.]</ref>
Un importante contributo alle equazioni ordinarie fu dato dai fratelli [[Jacob Bernoulli|Jacob]] e [[Johann Bernoulli]]. Nel 1695 [[Jacob Bernoulli]] si occupa dell'equazione oggi nota come [[equazione differenziale di Bernoulli]]
: <math>\frac {dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n</math>
per la quale Leibniz, l'anno successivo, ottiene delle soluzioni semplificandola ad un'[[equazione lineare]].<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Hairer |nome1=Ernst |cognome2=Nørsett |nome2=Syvert Paul |cognome3=Wanner |nome3=Gerhard |titolo=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems |url=https://archive.org/details/solvingordinaryd0002hair |editore=[[Springer-Verlag]] |città=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 |anno=1993}}</ref> L'anno successivo il fratello Johann si occupa invece del problema della curva [[brachistocrona]].
Un altro importante problema meccanico, quello della [[corda vibrante]], viene inoltre incluso negli studi di [[Jean le Rond d'Alembert]], [[Leonhard Euler]], [[Daniel Bernoulli]]
:<math> { \partial^2 u \over{ \partial x^2 }} - \frac {1}{v^2} { \partial^2 u \over{ \partial t^2 }} = 0</math>
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A partire dal 1750 fu poi sviluppata l'[[equazioni di Eulero-Lagrange|equazione di Eulero-Lagrange]] da parte di Eulero e Lagrange, che è alla base della [[meccanica lagrangiana]].
Un altro importante testo è ''[[Théorie analytique de la Chaleur|Théorie analytique de la chaleur]]''<ref>{{Cita libro |cognome= Fourier |nome= Joseph |titolo= Théorie analytique de la chaleur |editore= Firmin Didot Père et Fils |anno= 1822 |città= Paris |lingua= fr |url= http://books.google.com/books?id= |
== Descrizione ==
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:<math>f(x, u(x), u'(x),\dots , u^{(n)}(x)) = 0 </math>
dove <math>u, u',\dots , u^{(n)} </math> sono le [[derivate]] di <math>u</math> fino all'ordine <math>n</math>. Se <math>f</math> è lineare, l'equazione è [[equazione differenziale lineare|lineare]]. Per esempio, l'equazione differenziale di primo
:<math>\frac{du}{d x} = u</math>
Riga 149:
Supponendo che <math>a_{11}</math>, <math>a_{12}</math> e <math>a_{22}</math> non siano tutti nulli, i termini con le derivate seconde definiscono una [[forma quadratica]] nel punto <math>(x_0, y_0)</math>:<ref>[http://www.mai.liu.se/~vlatk48/teaching/teaching_vt2009/lectures_uu/PDE09-051.pdf Vladimir Tkatjev - Lecture 5. Classification of the second-order equations in two variables] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150723044624/http://www.mai.liu.se/~vlatk48/teaching/teaching_vt2009/lectures_uu/PDE09-051.pdf |data=23 luglio 2015 }}</ref>
:<math>\sigma(x_0, y_0;p_1, p_2) = a_{11}(x_0, y_0) p_1^2 + 2a_{12}(x_0, y_0) p_1 p_2 + a_{
alla quale si [[matrice di trasformazione|associa]] la [[matrice simmetrica]]:
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Si tratta di una funzione esponenziale che cresce nel tempo se <math>n>m</math>, cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se <math>m>n</math>. Il modello che si è esaminato è particolarmente semplificato; in generale il tasso di crescita non è semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità: è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare, inoltre, situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel [[Equazioni di Lotka-Volterra|modello di Volterra-Lotka]].
==Soluzioni==
Solitamente non è possibile trovare soluzioni esatte per le equazioni differenziali. Invece che trovare un'espressione analitica di una funzione che soddisfi l'equazione si è spesso limitati a studiarne l'esistenza e l'andamento qualitativo, oppure se ne determinano soluzioni approssimate servendosi di [[computer]] in grado di effettuare approssimazioni tramite [[Analisi numerica|metodi di calcolo numerici]]. Nel corso dei secoli sono tuttavia stati trovati diversi casi in cui è possibile ricavare l'espressione analitica di funzioni che sono soluzione di un'equazione differenziale, così come sono stati sviluppati molti strumenti di vario tipo per la ricerca di tali soluzioni: per affrontare le equazioni ordinarie si può ricorrere ad esempio all'utilizzo di un [[fattore di integrazione]], del [[metodo delle differenze finite]], del [[metodo delle variazioni delle costanti]] e diversi altri [[Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie|metodi di soluzione analitica]] e [[Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie|numerica]].
Per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, non vi è una teoria generale per analizzarle, ma vi sono casi in cui è possibile trovare una soluzione unica che dipende in modo [[funzione continua|continuo]] dai dati forniti dal problema. Tali soluzioni sono dette "classiche", e si distinguono da [[formulazione debole|soluzioni deboli]] o generalizzate. Tra i molti metodi utilizzati per studiare le PDE vi è il [[metodo delle caratteristiche]], l'utilizzo della [[funzione di Green]], diverse [[trasformata integrale|trasformate integrali]] o il metodo di [[separazione delle variabili]].
Accade inoltre spesso che si identificano classi di funzioni caratterizzate dal fatto che soddisfano alcune importanti equazioni differenziali, e per tale motivo godono di proprietà particolari che le rendono di notevole interesse. Ad esempio le [[onda|onde]], che
=== Soluzioni numeriche ===
{{vedi anche |Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie}}
Le soluzioni numeriche sono degli algoritmi che permettono di approssimare la soluzione del sistema di [[equazioni differenziali]] che costituiscono il ''[[modello matematico]]'' del sistema. Questi [[algoritmo|algoritmi]] sono alla base dei [[software]] di [[simulazione]] come [[Simulink|MATLAB/Simulink]] ed in linea generale possono risolvere anche problemi che non ammettono soluzioni in forma chiusa.
== Software ==
* [[ExpressionsinBar]]
* [[Maple]]:<ref>{{Cita web|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve|titolo=dsolve}}</ref> dsolve
* [[Sage (software)|SageMath]]<ref>{{Cita web|url=http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html|titolo=Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0|sito=doc.sagemath.org|accesso=2020-05-12}}</ref>
* [[Xcas]]:<ref>{{Cita web|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf|titolo=Symbolic algebra and Mathematics with Xcas}}</ref> desolve(y'=k*y,y)
==Note==
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== Bibliografia ==
*
* {{Cita libro|titolo=A treatise on differential equations|autore=George Boole|wkautore=George Boole|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99509g.r=A%20treatise%20on%20differential%20equations?rk=21459;2|via=[[Gallica]]|editore=MCMILLAN AND CO.|città=Cambridge|anno=1859|lingua=en|accesso=14 luglio 2021}}
* {{en}} W. W. Johnson ''[http://name.umdl.umich.edu/ABV5010.0001.001 A treatise on ordinary and partial differential equations.]'' (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
* {{en}} T. Craig ''[https://www.archive.org/details/treatiseonlinear00crairich A treatise on linear differential equations]'' (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
* {{en}}E. Goursat ''[http://name.umdl.umich.edu/ABA9351.0003.001 A course of mathematical analysis, part II of volume II]'' (Ginn & co. 1917)
* {{cita libro | cognome= Evans| nome= Lawrence C.| titolo= Partial Differential Equations| url= https://archive.org/details/partialdifferent0019evan| editore= American Mathematical Society| città= | anno= 1998 | isbn= 0-8218-0772-2|cid=evans| lingua= en}}
* {{en}}H. Bateman ''[https://www.archive.org/details/differentialequ00bategoog Differential Equations]'' ( Longmans, Green and co., London, 1918)
* {{en}}E. L. Ince ''[https://www.archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp Ordinary Differential Equations]'' (Longman Greens, London, 1927)
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== Voci correlate ==
* [[Analizzatore differenziale]]
* [[Condizione al contorno]]▼
* [[Condizioni iniziali]]▼
* [[Controllo automatico]]
* [[Derivata]]
* [[Equazione alle derivate parziali]]▼
* [[Equazione differenziale algebrica]]
* [[Equazione differenziale lineare]]
* [[Equazione differenziale ordinaria]]
▲* [[Equazione alle derivate parziali]]
* [[Equazione differenziale stocastica]]
* [[Equazione integro-differenziale]]
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* [[Teorema di esistenza di Peano]]
* [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy]]
▲* [[Condizioni iniziali]]
▲* [[Condizione al contorno]]
== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* V. Moretti ''[http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html Introduzione alla teoria delle equazioni alle Derivate Parziali del secondo ordine]'' dispense università di Trento
* [http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/it/equazioni_differenziali_intro.htm Modellizzazione con equazioni differenziali] ''Introduzione alla modellizzazione mediante equazioni differenziali, con commenti critici.''
* {{cita web|http://eqworld.ipmnet.ru/|EqWorld|lingua=en}}
{{analisi matematica}}
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