Equazione differenziale: differenze tra le versioni

In [[analisi matematica]] un''''equazione differenziale''' è un'[[equazione]] che lega una [[Funzione (matematica)|funzione]] incognita alle sue [[Derivata|derivate]]: se la funzione è di una sola variabile e l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie, viene detta [[equazione differenziale ordinaria]]; se, invece, la funzione è a più variabili e l'equazione contiene [[Derivata parziale|derivate parziali]] della funzione stessa, è detta [[equazione alle derivate parziali|equazione differenziale alle derivate parziali]].

per la quale Leibniz, l'anno successivo, ottiene delle soluzioni semplificandola ad un'[[equazione lineare]].<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Hairer |nome1=Ernst |cognome2=Nørsett |nome2=Syvert Paul |cognome3=Wanner |nome3=Gerhard |titolo=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems |url=https://archive.org/details/solvingordinaryd0002hair |editore=[[Springer-Verlag]] |città=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 |anno=1993}}</ref> L'anno successivo il fratello Johann si occupa invece del problema della curva [[brachistocrona]].

Un altro importante problema meccanico, quello della [[corda vibrante]], viene inoltre incluso negli studi di [[Jean le Rond d'Alembert]], [[Leonhard Euler]], [[Daniel Bernoulli]] e [[Joseph-Louis Lagrange]].<ref>[http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf ] {{Cita pubblicazione|cognome1nome2= Cannon |nome1=John T.Sigalia|cognome2=Dostrovsky|nome2anno=Sigalia1981|titolo=The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742|editore=Springer-Verlag|città=New York|volume=6|pp=ix + 184 pp.|url= https://archive.org/details/evolutionofdynam0000cann |annocognome1=1981Cannon|volumenome1=John 6T.|serie=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|ISBN= 0-387-90626-6|editore=Springer-Verlag|città=New York|pp=ix + 184 pp.}} {{Cita pubblicazione|nome=JW|cognome= GRAY|nomedata=JWJuly 1983|titolo=BOOK REVIEWS |rivista=BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY |data=July 1983 |volume= 9|numero= 1}} (retrieved 13 Nov 2012).</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Gerard F. |cognome=Wheeler |nome2=William P. |cognome2=Crummett |titolo=The Vibrating String Controversy |rivista=[[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]] |anno=1987 |volume=55 |numero=1 |pp=33–37 |doi=10.1119/1.15311 }}</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200209023122/http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= |date=9 febbraio 2020 }} (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref><ref>For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult [http://books.google.co.uk/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18 Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications] Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)</ref> Nel 1746, d'Alembert affronta l'[[equazione delle onde]] monodimensionale:

Un altro importante testo è ''[[Théorie analytique de la Chaleur|Théorie analytique de la chaleur]]''<ref>{{Cita libro |cognome= Fourier |nome= Joseph |titolo= Théorie analytique de la chaleur |editore= Firmin Didot Père et Fils |anno= 1822 |città= Paris |lingua= fr |url= http://books.google.com/books?id= | oclc= 2688081 |urlmorto= sì }}</ref> del 1822, in cui [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] espone l'[[equazione del calore]].

dove <math>u, u',\dots , u^{(n)} </math> sono le [[derivate]] di <math>u</math> fino all'ordine <math>n</math>. Se <math>f</math> è lineare, l'equazione è [[equazione differenziale lineare|lineare]]. Per esempio, l'equazione differenziale di primo gradoordine: