Wikipedia

Equazione differenziale: differenze tra le versioni

Naviga nella cronologia in modo interattivo
← Differenza precedente
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
VisualeWikitesto
Recupero di 1 fonte/i e segnalazione di 0 link interrotto/i. #IABot (v1.6.4)
Aggiungi 1 libro per la Wikipedia:Verificabilità (20240110)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot
 
(47 versioni intermedie di 36 utenti non mostrate)
Riga 1:
In [[analisi matematica]] un''''equazione differenziale''' è un'[[equazione]] che lega una [[Funzione (matematica)|funzione]] incognita alle sue [[Derivata|derivate]]: se la funzione è di una sola variabile e l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie e, viene detta [[equazione differenziale ordinaria]]; se, invece, la funzione è a più variabili e l'equazione contiene [[derivataDerivata parziale|derivate parziali]] della funzione stessa, è detta [[equazione alle derivate parziali|equazione differenziale alle derivate parziali]].
 
== Storia ==
Lo studio delle equazioni differenziali ha avuto inizio in seguito all'introduzione del [[calcolo infinitesimale]] da parte di [[Isaac Newton|Newton]] e [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] nel diciassettesimo[[XVII secolo]]. Nel secondo capitolo del suo testo del 1671 ''[[Methodus fluxionum et Serierumserierum Infinitaruminfinitarum]]'',<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].</ref>, Isaac Newton focalizza il discorso su tre tipologie di equazioni differenziali di primo grado, di cui due ordinarie:
 
:<math>\frac {dy}{dx} = f(x) \qquad \frac {dy}{dx} = f(x,y)</math>
 
e una con [[derivataDerivata parziale|derivate parziali]]:
 
:<math>x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y</math>
Riga 12:
Ne risolve inoltre un esempio per ognuna delle tipologie, esprimendo il termine non derivato come serie di potenze e ponendo che abbiano come soluzione delle [[serie]] infinite, di cui nota che i coefficienti possono essere scelti in maniera arbitraria producendo così un'infinità di soluzioni particolari.<ref>[http://www2.fiu.edu/~yuasun/ODE_History.pdf John E. Sasser - History of Ordinary Differential Equations: The First Hundred Years.]</ref>
 
Un importante contributo alle equazioni ordinarie fu dato dai fratelli [[Jacob Bernoulli|Jacob]] e [[Johann Bernoulli]]. Nel 1695 [[Jacob Bernoulli]] si occupa dell'equazione oggi nota come [[equazione differenziale di Bernoulli]]:<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Bernoulli |nome1=Jacob |wkautore1=Jacob Bernoulli |titolo=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis |anno=1695 |rivista=[[Acta Eruditorum]]}}</ref>:
 
: <math>\frac {dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n</math>
 
per la quale Leibniz, l'anno successivo, ottiene delle soluzioni semplificandola ad un'[[equazione lineare]].<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Hairer |nome1=Ernst |cognome2=Nørsett |nome2=Syvert Paul |cognome3=Wanner |nome3=Gerhard |titolo=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems |url=https://archive.org/details/solvingordinaryd0002hair |editore=[[Springer-Verlag]] |città=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 |anno=1993}}</ref> L'anno successivo il fratello Johann si occupa invece del problema della curva [[brachistocrona]].
 
Un altro importante problema meccanico, quello della [[corda vibrante]], viene inoltre incluso negli studi di [[Jean le Rond d'Alembert]], [[Leonhard Euler]], [[Daniel Bernoulli]], e [[Joseph-Louis Lagrange]].<ref>[http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf] {{Cita pubblicazione|cognome1nome2= Cannon |nome1=John T.Sigalia|cognome2=Dostrovsky|nome2anno=Sigalia1981|titolo=The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742|annoeditore=1981Springer-Verlag|città=New York|volume=6|pp=ix + 6184 pp.|url=https://archive.org/details/evolutionofdynam0000cann|cognome1=Cannon|nome1=John T.|serie=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|ISBN= 0-387-90626-6|editore=Springer-Verlag|città=New York|pp=ix + 184 pp.}}] {{Cita pubblicazione|nome=JW|cognome= GRAY|nomedata=JWJuly 1983|titolo=BOOK REVIEWS |rivista=BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY |data=July 1983 |volume= 9|numero= 1}} (retrieved 13 Nov 2012).</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Gerard F. |cognome=Wheeler |nome2=William P. |cognome2=Crummett |titolo=The Vibrating String Controversy |rivista=[[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]] |anno=1987 |volume=55 |numero=1 |pp=33–37 |doi=10.1119/1.15311 }}</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200209023122/http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= |date=9 febbraio 2020 }} (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref><ref>For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult [http://books.google.co.uk/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18 Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications] Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)</ref> Nel 1746, d'Alembert affronta l'[[equazione delle onde]] monodimensionale:
 
:<math> { \partial^2 u \over{ \partial x^2 }} - \frac {1}{v^2} { \partial^2 u \over{ \partial t^2 }} = 0</math>
Riga 26:
A partire dal 1750 fu poi sviluppata l'[[equazioni di Eulero-Lagrange|equazione di Eulero-Lagrange]] da parte di Eulero e Lagrange, che è alla base della [[meccanica lagrangiana]].
 
Un altro importante testo è ''[[Théorie analytique de la Chaleur|Théorie analytique de la chaleur]]''<ref>{{Cita libro |cognome= Fourier |nome= Joseph |titolo= Théorie analytique de la chaleur |editore= Firmin Didot Père et Fils |anno= 1822 |città= Paris |lingua= fr |url= http://books.google.com/books?id= | oclc= 2688081 |urlmorto= sì }}</ref> del 1822, in cui [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] espone l'[[equazione del calore]].
 
== Descrizione ==
 
Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in [[matematica]], avendo un ruolo fondamentale nella controparte matematica di moltissimi ambiti della [[scienza]] e dell'[[ingegneria]]. Possono descrivere, per esempio, una situazione generale in cui una certa quantità <math>f</math> varia rispetto al tempo in una maniera che dipende dal valore della quantità stessa in quel momento: ciò corrisponde al fatto che nell'equazione compare sia la funzione incognita <math>f</math> che la sua derivata rispetto al tempo <math>df/dt</math>. Nel caso più semplice compare solo la derivata:
 
Line 40 ⟶ 39:
dove <math>f_0</math> è costante e <math>G</math> è la [[Primitiva (matematica)|primitiva]] di <math>g</math>:
 
:<math>G(t)= \int g(xt)dxdt </math>
 
Si tratta tuttavia di relazioni di cui è raramente possibile avere una forma analitica della soluzione, o una sua espressione in termini di funzioni elementari, ma vengono piuttosto studiate l'esistenza e l'unicità delle soluzioni e il loro comportamento in contesti di particolare interesse, solitamente in relazione alla situazione di un [[fisica|sistema fisico]] descritto dall'equazione differenziale. L'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è detto ''integrale generale'' dell'equazione differenziale data.
Line 53 ⟶ 52:
:<math>f(x, u(x), u'(x),\dots , u^{(n)}(x)) = 0 </math>
 
dove <math>u, u',\dots , u^{(n)} </math> sono le [[derivate]] di <math>u</math> fino all'ordine <math>n</math>. Se <math>f</math> è lineare, l'equazione è [[equazione differenziale lineare|lineare]]. Per esempio, l'equazione differenziale di primo gradoordine:
 
:<math>\frac{du}{d x} = u</math>
Line 99 ⟶ 98:
 
:<math>u(x) = f_0(x) \qquad \forall x\in S </math>
:<math>\frac{\partpartial^k u(x)}{\partpartial \nu^k} = f_k(x) \qquad k=1,\ldots,\kappa-1 \quad \forall x\in S </math>
 
dove <math>f_k</math> sono funzioni date definite sulla superficie <math>S</math> e la [[derivata direzionale|derivata]] <math>\partpartial^k u(x) / \partpartial \nu^k</math> è calcolata rispetto alla direzione <math>\nu</math> del [[versore]] normale a <math>S</math>.<ref>{{cita web|http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cauchy_problem|Encyclopedia of Mathematics - Cauchy problem|06-07-2015}}</ref>
 
Il [[teorema di Cauchy-Kovalevskaya]], che si applica sia per le equazioni alle derivate parziali che per quelle ordinarie, stabilisce che se l'incognita e le condizioni iniziali di un'equazione differenziale sono localmente [[funzione analitica|funzioni analitiche]] allora una soluzione analitica esiste ed è unica.<ref>{{cita web|http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cauchy%E2%80%93Kovalevskaya_theorem|Encyclopedia of Mathematics - Kovalevskaya theorem|06-01-2013}}</ref>
Line 150 ⟶ 149:
Supponendo che <math>a_{11}</math>, <math>a_{12}</math> e <math>a_{22}</math> non siano tutti nulli, i termini con le derivate seconde definiscono una [[forma quadratica]] nel punto <math>(x_0, y_0)</math>:<ref>[http://www.mai.liu.se/~vlatk48/teaching/teaching_vt2009/lectures_uu/PDE09-051.pdf Vladimir Tkatjev - Lecture 5. Classification of the second-order equations in two variables] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150723044624/http://www.mai.liu.se/~vlatk48/teaching/teaching_vt2009/lectures_uu/PDE09-051.pdf |data=23 luglio 2015 }}</ref>
 
:<math>\sigma(x_0, y_0;p_1, p_2) = a_{11}(x_0, y_0) p_1^2 + 2a_{12}(x_0, y_0) p_1 p_2 + a_{1222}(x_0, y_0) p_2^2</math>
 
alla quale si [[matrice di trasformazione|associa]] la [[matrice simmetrica]]:
Line 175 ⟶ 174:
==Equazioni differenziali algebriche==
{{vedi anche|Equazione differenziale algebrica}}
{{...||matematica}}
 
==Formulazione debole di un problema differenziale==
{{vedi anche|Formulazione debole}}
{{...||matematica}}
 
== Esempio ==
Line 209 ⟶ 208:
Per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, non vi è una teoria generale per analizzarle, ma vi sono casi in cui è possibile trovare una soluzione unica che dipende in modo [[funzione continua|continuo]] dai dati forniti dal problema. Tali soluzioni sono dette "classiche", e si distinguono da [[formulazione debole|soluzioni deboli]] o generalizzate. Tra i molti metodi utilizzati per studiare le PDE vi è il [[metodo delle caratteristiche]], l'utilizzo della [[funzione di Green]], diverse [[trasformata integrale|trasformate integrali]] o il metodo di [[separazione delle variabili]].
 
Accade inoltre spesso che si identificano classi di funzioni caratterizzate dal fatto che soddisfano alcune importanti equazioni differenziali, e per tale motivo godono di proprietà particolari che le rendono di notevole interesse. Ad esempio le [[onda|onde]], che soddisfannosoddisfano l'[[equazione delle onde]], le [[Funzione armonica|funzioni armoniche]], che soddisfano l'[[equazione di Laplace]], e le [[funzioni speciali]], tra cui le [[serie ipergeometrica|funzioni ipergeometriche]] che soddisfano l'[[equazione ipergeometrica]], oppure le [[funzioni di Struve]], le [[funzioni di Anger]] e le [[funzioni di Weber]] che soddisfano le [[equazioni di Bessel]].
 
=== Soluzioni numeriche ===
{{vedi anche |Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie}}
Le soluzioni numeriche sono degli algoritmi che permettono di approssimare la soluzione del sistema di [[equazioni differenziali]] che costituiscono il ''[[modello matematico]]'' del sistema. Questi [[algoritmo|algoritmi]] sono alla base dei [[software]] di [[simulazione]] come [[Simulink|MATLAB/Simulink]] ed in linea generale possono risolvere anche problemi che non ammettono soluzioni in forma chiusa.
 
== Software ==
 
* [[ExpressionsinBar]]
* [[Maple]]:<ref>{{Cita web|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve|titolo=dsolve}}</ref> dsolve
* [[Sage (software)|SageMath]]<ref>{{Cita web|url=http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html|titolo=Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0|sito=doc.sagemath.org|accesso=2020-05-12}}</ref>
* [[Xcas]]:<ref>{{Cita web|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf|titolo=Symbolic algebra and Mathematics with Xcas}}</ref> desolve(y'=k*y,y)
 
==Note==
Line 219 ⟶ 225:
 
== Bibliografia ==
* {{cita libro |autore= [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]]|autore2=, [[Paolo Marcellini]]|autore3=, [[Carlo Sbordone]]|, titolo=''Lezioni Analisidi Matematicaanalisi Duematematica |due'', editore=Zanichelli, [[Liguori2020, Editore]]ISBN |9788808520203, città=Capitoli Napoli|4 anno=e 1996| isbn= 978-88-207-2675-1|capitolo=4}}5.
* {{Cita libro|titolo=A treatise on differential equations|autore=George Boole|wkautore=George Boole|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99509g.r=A%20treatise%20on%20differential%20equations?rk=21459;2|via=[[Gallica]]|editore=MCMILLAN AND CO.|città=Cambridge|anno=1859|lingua=en|accesso=14 luglio 2021}}
* {{en}} G. Boole ''{{collegamento interrotto|1=[http://gallica.bnf.fr/document?O=N099509 A treatise on differential equations] |date=novembre 2017 |bot=InternetArchiveBot }}'' (McMillan, Cambridge, 1859)
* {{en}} W. W. Johnson ''[http://name.umdl.umich.edu/ABV5010.0001.001 A treatise on ordinary and partial differential equations.]'' (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
* {{en}} T. Craig ''[httphttps://www.archive.org/details/treatiseonlinear00crairich A treatise on linear differential equations]'' (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
* {{en}}E. Goursat ''[http://name.umdl.umich.edu/ABA9351.0003.001 A course of mathematical analysis, part II of volume II]'' (Ginn & co. 1917)
* {{cita libro | cognome= Evans| nome= Lawrence C.| titolo= Partial Differential Equations| url= https://archive.org/details/partialdifferent0019evan| editore= American Mathematical Society| città= | anno= 1998 | isbn= 0-8218-0772-2|cid=evans| lingua= en}}
* {{en}}H. Bateman ''[httphttps://www.archive.org/details/differentialequ00bategoog Differential Equations]'' ( Longmans, Green and co., London, 1918)
* {{en}}E. L. Ince ''[httphttps://www.archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp Ordinary Differential Equations]'' (Longman Greens, London, 1927)
* {{en}}A. R. Forsyth ''[httphttps://www.archive.org/details/ATreatiseOnDifferentialEquations A Treatise On Differential Equations]'' (MacMillan, London, 1929)
* {{en}}E. G. C. Poole ''[httphttps://www.archive.org/details/introductiontoth033472mbp Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations]'' (Clarendon Press, Oxford, 1936)
* {{fr}}E. Picard ''[httphttps://www.archive.org/details/traitedanalyse03picarich Traité d'Analyse (vol. 3)]'' (Gauthier-Villars, 1896)
* {{fr}}C. Jordan ''[httphttps://www.archive.org/details/coursdanalysedel03jordrich Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3)]'' (Gauthier-Villars, 1913)
* {{en}}P. L. Sachdev ''A Compendium on Nonlinear Ordinary Differential Equations'' (John Wiley, 1997) ISBN 0-471-53134-0
* {{de}}L. Schlesinger ''[httphttps://www.archive.org/details/handbuchdertheo00schlgoog Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Erster Band)]''(B. G. Teubner, Leipzig, 1895)
* {{de}}L. Schlesinger ''[httphttps://www.archive.org/details/handbuchdertheo03schlgoog Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Zweiter Band, Erster Theil) ]''(B. G. Teubner, Leipzig, 1897)
* {{de}}L. Schlesinger ''[httphttps://www.archive.org/details/handbuchdertheo02schlgoog Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Zweiten Band, Zweiter Theil)]'' (B. G. Teubner, Leipzig, 1898)
* {{de}}H. Liebmann ''[httphttps://www.archive.org/details/lehrbuchderdiff00liebgoog Lehrbuch der Differentialgleichungen]'' (Veit & Comp., 1901)
 
== Voci correlate ==
* [[Analizzatore differenziale]]
* [[Condizione al contorno]]▼
* [[Condizioni iniziali]]▼
* [[Controllo automatico]]
* [[Derivata]]
* [[Equazione alle derivate parziali]]▼
* [[Equazione differenziale algebrica]]
* [[Equazione differenziale lineare]]
* [[Equazione differenziale ordinaria]]
▲* [[Equazione alle derivate parziali]]
* [[Equazione differenziale stocastica]]
* [[Equazione integro-differenziale]]
Line 255 ⟶ 263:
* [[Teorema di esistenza di Peano]]
* [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy]]
▲* [[Condizioni iniziali]]
▲* [[Condizione al contorno]]
 
== Altri progetti ==
Line 262 ⟶ 268:
 
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* V. Moretti ''[http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html Introduzione alla teoria delle equazioni alle Derivate Parziali del secondo ordine]'' dispense università di Trento
* [http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/it/equazioni_differenziali_intro.htm Modellizzazione con equazioni differenziali] ''Introduzione alla modellizzazione mediante equazioni differenziali, con commenti critici.''
* {{cita web|http://eqworld.ipmnet.ru/|EqWorld|lingua=en}}
* {{cita web|http://mathworld.wolfram.com/DifferentialEquation.html|MathWorld|lingua=en}}
* {{Thesaurus BNCF}}
 
{{analisi matematica}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale"