Polinomi ortogonali

In matematica, una famiglia di polinomi per dove per ogni si ha un polinomio di grado , si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso positiva nell'intervallo scelto se

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi e dia

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

  • I polinomi di Čebyšëv di prima specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
  • I polinomi di Čebyšëv di seconda specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
  • I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
  • I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
  • I polinomi di Laguerre con , ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

dove gli sono numeri interi nell'intervallo . Con questa definizione,

  • i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con );
  • i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con ).

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.

Polinomi ortonormali

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In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:

 

per ogni  .

Bibliografia

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  • W. H. Thomas, http://handle.dtic.mil/100.2/ADA256448[collegamento interrotto], Monterey, 1992.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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Controllo di autoritàThesaurus BNCF 38387 · LCCN (ENsh85095794 · GND (DE4172863-4 · BNE (ESXX535339 (data) · BNF (FRcb11938460c (data) · J9U (ENHE987007553354205171
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