Anello commutativo

In algebra, un anello commutativo è un anello in cui la moltiplicazione è commutativa. In altre parole, se a e b sono elementi dell'anello allora a×b=b×a.

Molte strutture usate in matematica risultano essere anelli commutativi; il ramo dell'algebra che studia questi oggetti è denotato generalmente con algebra commutativa.

  • L'esempio più importante è l'anello dei numeri interi Z.
  • Un campo è un caso particolare di anello commutativo; ad esempio, i campi Q, R, C rispettivamente dei numeri razionali, reali e numeri complessi sono anelli commutativi.
  • L'insieme A[x] dei polinomi con variabile x e coefficienti in un anello commutativo A formano un anello commutativo con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi.
  • L'insieme F(X, A) delle funzioni da un insieme qualsiasi X ad un anello commutativo A formano un altro anello commutativo con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni, definite nel modo seguente:
     
  • Ogni gruppo ciclico è in realtà un anello commutativo.
  • L'insieme A[[x]] delle serie a coefficienti in un anello commutativo A formano un anello commutativo.

Anelli non commutativi

modifica

Un anello non commutativo è un anello in cui esistono almeno due elementi   e   tali che  . Ad esempio:

  • L'anello M(n, A) delle matrici n x n a coefficienti in un anello A generalmente non è commutativo, anche se A lo è. Ad esempio, tra le matrici 2 x 2 reali abbiamo
 

Proprietà

modifica

Un elemento a che divide lo zero (cioè diverso da 0 e tale che esiste b diverso da 0, con ab = 0) è detto divisore dello zero. Un anello commutativo con unità e privo di divisori dello zero è detto dominio di integrità: l'anello: Z, Q, R e C sono domini di integrità. I domini d'integrità sono anelli con proprietà simili a quelle di Z.

Collegamenti esterni

modifica
Controllo di autoritàThesaurus BNCF 21032 · LCCN (ENsh85029269 · GND (DE4164825-0 · BNF (FRcb13163192g (data) · J9U (ENHE987007545498905171 · NDL (ENJA00564708
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica