Trasformazione di Householder: differenze tra le versioni
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==Definizione e proprietà== |
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Versione delle 10:12, 9 feb 2005
In matematica una trasformazione di Householder in uno spazio tridimensionale è la riflessione dei vettori rispetto ad un piano passante per l'origine In generale in uno spazio euclideo essa è una trasformazione lineare che descrive una riflessione rispetto ad un iperpiano contenente l'origine.
La trasformazione di Householder è stata introdotta nel 1958 dal matematico statunitense Alston Scott Householder (1905-1993). Questa può essere usata per ottenere una decomposizione QR di una matrice.
Definizione e proprietà
La riflessione rispetto ad un iperpiano può essere definita da un versore v (un vettore di lunghezza 1) ortogonale all'iperpiano.
Se v è dato come un vettore colonna unità e I è la matrice identità la trasformazione lineare descritta sopra è data dalla matrice di Householder (vT denota il trasposto del vettore v)
- Q = I − 2 vvT.
La matrice di Householder ha le seguenti proprietà:
- è simmetrica: Q = QT
- è ortogonale: Q-1 = QT
- quindi essa è anche involutoria: Q2 = I.
Si trova che Q, agendo come descritto sopra, riflette effettivamente un punto X (che viene rappresentato con il suo vettore posizione x):
- Qx = x − 2 vvTx = x − 2 <v,x> v,
dove il costrutto <...,...> denota il prodotto scalare. Si noti che <v,x> fornisce la distanza di X dall'iperpiano.
Applicazione: decomposizione QR
La matrice Q può essere usata per riflettere un vettore in modo tale che tutte le sue coordinate eccetto una scompaiono. Sia x un arbitrario vettore colonna m-dimensionale di lunghezza |α| (per la stabilità numerica si assume che α abbia lo stesso segno della prima coordinata di x).
Se e1 è il vettore (1,0,...,0)T, e se || ... || denota la norma euclidea, si considerano le costruzioni
- u = x − αe1,
- v = u / ||u||,
- Q = I - 2 vvT .
Per la matrice di Householder Q si ha
- Qx = (α,0,...,0)T.
Questo genere di trasformazione può essere usato per trasformare gradualmente una matrice A di aspetto m × n nella forma triangolare superiore. Innanzitutto si moltipliplica A per la matrice di Householder Q1 ottenuta sceglendo x per la sua prima colonna. Questa risulta in una matrice QA che presenta zeri nella colonna sinistra, ad eccezione della sola prima riga.
Questa modifica può essere ripetuta per la A mediante una matrice di Housholder Q'2. Si noti che Q'2 è più piccola della Q1. Poiché vogliamo che sia reale per operare su Q1A invece di A' abbiamo bisogno di espandere questa nella parte superiore sinistra, riempiendola di entrate 1, o in generale:
Dopo t iterazioni di questo processo, con t = min(m − 1, n), si giunge ad
- R = Qt...Q2Q1A
che è una matrice triangolare superiore. In tal modo, con
- Q = Q1Q2...Qt,
A = QR è una decomposizione QR di A.
Questo metodo risulta numericamente stabile.