法線ベクトル(ほうせんベクトル、: normal vector)とは、2次元平面においては、曲線上の点における接線に垂直な平面ベクトル、3次元空間においては、曲面上の点における接平面に垂直な空間ベクトルのことである。法線(ほうせん、: normal)とは、接線や接平面に垂直直線のことである。

曲面の法ベクトル場

曲線(曲面)上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも単位ベクトルノルムが 1)であるものを単位法(線)ベクトル: normal unit vector)というが、それでも2つあることに注意する必要がある。

3次元での例

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平面の法線ベクトルの例

曲面の法線ベクトルは、2つの線形独立接ベクトル外積として求めることができる。

右図で示した右手系正規直交座標系において、直方体の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトル N は、

 

となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。ノルムは線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。

線分 AB と線分 DC が x軸に平行で、線分 AD と線分 BC が z軸に平行な場合、

 

となる。ここで jy軸方向の単位ベクトルである。

導出

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平面において、

  • 曲線   上の点   における法線ベクトル: 
    • 特に、直線   上の点   における法線ベクトル: 
  • 曲線  t媒介変数)の   における点の法線ベクトル: 

接空間の法線ベクトルによる表示

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接点と法線ベクトルから、元の接空間を表すことができる。

  • 接点  、法線ベクトル   の接空間の方程式は  

関連項目

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外部リンク

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