함수해석학 에서 바나흐 공간 (Banach空間, 영어 : Banach space )은 완비 노름 공간 이다.[1] [2] [3] [4] 함수해석학 의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐 의 이름을 땄다.
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
가 실수체 또는 복소수체 라고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
(
X
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간 을
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 이라고 한다.
(노름 으로 정의한 거리 함수 를 부여하면) 완비 거리 공간 이다. 즉, 모든 코시 열 이 수렴 한다.
모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬
(
v
i
)
i
∈
N
⊆
X
{\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X}
에 대하여, 만약
∑
i
∈
N
‖
v
i
‖
<
∞
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty }
라면, 급수
∑
i
∈
N
v
i
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}}
역시 (노름 으로 정의한 거리 위상 에 대하여) 수렴한다.[5] :8, §1.2, Exercise 1.2.1
체
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
를 실수체 또는 복소수체 로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체 는 완비되지 못한다.)
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
의 부분 벡터 공간
ι
:
W
↪
V
{\displaystyle \iota \colon W\hookrightarrow V}
가 주어졌다고 하자. 만약
W
{\displaystyle W}
가 닫힌집합 이라면
W
{\displaystyle W}
는 역시 바나흐 공간을 이룬다.
만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
P
:
V
→
W
{\displaystyle P\colon V\to W}
가 존재한다면,
W
{\displaystyle W}
를 여공간을 가지는 부분 공간 (영어 : complemented subspace )라고 한다.
P
{\displaystyle P}
는 전사 함수 이다.
ι
∘
P
:
V
→
V
{\displaystyle \iota \circ P\colon V\to V}
는 (
W
{\displaystyle W}
로의) 사영 이다. 즉,
ι
∘
P
∘
ι
∘
P
=
ι
∘
P
{\displaystyle \iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P}
이다.
P
{\displaystyle P}
는 유계 작용소 이다.
여분 부분 공간은 (연속 함수의 상 이므로) 항상 닫힌집합 이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간
여분 부분 공간
W
⊆
V
{\displaystyle W\subseteq V}
가 주어졌을 때, 바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
를 다음과 같이 분해할 수 있다.
V
=
W
⊕
ker
P
{\displaystyle V=W\oplus \ker P}
그러나 이러한
P
{\displaystyle P}
는 유일하지 않을 수 있다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
V
{\displaystyle V}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
및 등거리 선형 변환
ι
:
V
→
V
¯
{\displaystyle \iota \colon V\to {\bar {V}}}
가 존재한다.
상
ι
(
V
)
⊆
V
¯
{\displaystyle \iota (V)\subseteq {\bar {V}}}
는
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
의 조밀 집합 이다.
또한, 이는 다음과 같은 보편 성질 을 만족시킨다.
임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
W
{\displaystyle W}
및 등거리 선형 변환
j
:
V
→
W
{\displaystyle j\colon V\to W}
에 대하여, 만약
j
(
V
)
{\displaystyle j(V)}
가 조밀 집합 이라면,
j
=
i
∘
ι
{\displaystyle j=i\circ \iota }
인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상 )
i
:
V
¯
→
W
{\displaystyle i\colon {\bar {V}}\to W}
가 존재한다.
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
는 거리 공간 으로서
V
{\displaystyle V}
의 거리 공간 완비화 와 같다. 만약
V
{\displaystyle V}
가 이미 바나흐 공간이라면
ι
{\displaystyle \iota }
는 바나흐 공간 동형 사상이다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
X
{\displaystyle X}
의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-부분 벡터 공간
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
에 제한 노름
‖
‖
X
↾
Y
{\displaystyle \|\|_{X}\upharpoonright Y}
를 부여하면, 이는 노름 공간 을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
Y
{\displaystyle Y}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다.
Y
{\displaystyle Y}
는 닫힌집합 이다.
또한, 닫힌 부분 벡터 공간
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
에 대한 몫공간
X
/
Y
{\displaystyle X/Y}
위에
‖
x
+
Y
‖
=
inf
y
∈
Y
‖
x
+
y
‖
{\displaystyle \lVert x+Y\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x+y\rVert }
으로 노름 을 주자. 그렇다면
X
/
Y
{\displaystyle X/Y}
역시
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
Y
{\displaystyle Y}
연속 열린
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T\colon X\to Y}
그렇다면,
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간 의 집합
(
V
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (V_{i})_{i\in I}}
확장된 실수
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
그렇다면, 직합
V
~
=
⨁
i
∈
I
V
i
{\displaystyle {\tilde {V}}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}
위에 다음과 같은 노름 을 정의하자.
‖
⨁
i
∈
I
v
i
‖
=
{
∑
i
∈
I
‖
v
i
‖
V
i
p
p
p
<
∞
max
i
∈
I
‖
v
i
‖
V
i
p
=
∞
{\displaystyle \left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}&p=\infty \end{cases}}}
그렇다면,
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-내적 공간을 이룬다.
만약
I
{\displaystyle I}
가 유한 집합 이라면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
모든
i
{\displaystyle i}
에 대하여
V
i
{\displaystyle V_{i}}
가 바나흐 공간이다.
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
는 바나흐 공간이다.
이 경우,
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
의 (
p
{\displaystyle p}
-노름으로 정의되는) 위상은
p
{\displaystyle p}
에 의존하지 않는다.
그러나 만약
I
{\displaystyle I}
가 무한 집합 이라면,
V
i
{\displaystyle V_{i}}
가 모두 바나흐 공간이라도
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
의 완비화
V
{\displaystyle V}
를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로
p
∈
[
1
,
∞
]
{\displaystyle p\in [1,\infty ]}
에 따라 다르다.
힐베르트 공간 의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다.[6] [7] 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱 (영어 : projective topological tensor product )과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱 (영어 : injective topological tensor product )이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.
바나흐-샤우데르 정리 (-定理, 영어 : Banach-Schauder theorem ) 또는 열린 사상 정리 (-寫像定理, 영어 : open mapping theorem )에 따르면, 임의의 두
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
,
W
{\displaystyle W}
사이의 전사 유계 작용소
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
는 열린 함수 이다.[8] :48, Theorem 2.11 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환 은 항상 위상 벡터 공간 의 동형 사상 이다. (그러나 이는 등거리 변환 이 아닐 수 있다.)
이 정의는 베르 범주 정리 를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.
증명 :
V
{\displaystyle V}
속의 단위 열린 공 의 상
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
{\displaystyle T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)}
이
0
W
{\displaystyle 0_{W}}
의 근방 임을 증명하면 족하다.
우선,
V
{\displaystyle V}
는 다음과 같은 열린 공 들의 합집합 이다.
V
=
⋃
n
∈
Z
+
ball
V
(
0
,
n
)
{\displaystyle V=\bigcup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\operatorname {ball} _{V}(0,n)}
T
{\displaystyle T}
가 전사 함수 이므로
W
=
T
(
V
)
=
⋃
n
=
1
∞
T
(
ball
V
(
0
,
n
)
)
{\displaystyle W=T(V)=\bigcup _{n=1}^{\infty }T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)}
이다.
베르 범주 정리 에 따라서, 바나흐 공간
W
{\displaystyle W}
는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,
ball
W
(
n
c
,
n
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
n
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(nc,nr)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)\right)}
인 양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
및
c
∈
W
{\displaystyle c\in W}
및 양의 실수
r
>
0
{\displaystyle r>0}
가 존재한다. (
ball
(
−
,
−
)
{\displaystyle \operatorname {ball} (-,-)}
는 열린 공 을 뜻한다.) 즉,
ball
W
(
c
,
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이다.
이제,
ball
W
(
0
,
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(0,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
를 증명하자. 우선,
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
=
−
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)=-\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이므로, 임의의
w
∈
ball
W
(
0
,
r
)
{\displaystyle w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r)}
에 대하여,
w
±
c
∈
ball
(
±
c
,
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle w\pm c\in \operatorname {ball} (\pm c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이며,
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
는 볼록 집합 이므로
w
=
(
w
+
c
)
+
(
w
−
c
)
)
2
∈
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle w={\frac {(w+c)+(w-c))}{2}}\in \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이다.
이제
ball
W
(
0
,
r
/
2
)
⊆
T
(
2
r
ball
V
(
0
,
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)\subseteq T\left({\frac {2}{r}}\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)}
를 증명하면 족하다. 즉, 임의의
w
∈
ball
W
(
0
,
r
/
2
)
{\displaystyle w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)}
에 대하여,
T
v
=
w
{\displaystyle Tv=w}
인
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
를 찾으면 족하다.
다음 두 조건을 만족시키는 벡터열
(
v
1
,
v
2
,
…
)
{\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots )}
을 재귀적으로 고를 수 있다.
‖
v
i
‖
<
2
−
i
∀
i
∈
Z
+
{\displaystyle \|v_{i}\|<2^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
‖
w
−
T
v
1
−
⋯
−
T
v
i
‖
<
2
−
i
−
1
r
∀
i
∈
Z
+
{\displaystyle \|w-Tv_{1}-\cdots -Tv_{i}\|<2^{-i-1}r\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
(이는
r
{\displaystyle r}
의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,
v
=
∑
i
=
1
∞
v
i
∈
ball
V
(
0
,
1
)
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{\infty }v_{i}\in \operatorname {ball} _{V}(0,1)}
를 정의할 수 있다.
T
{\displaystyle T}
가 연속 함수 이므로
T
v
=
w
{\displaystyle Tv=w}
이다.
특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소 는 위상 벡터 공간 의 동형이다.[8] :51, Theorem 2.15 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리 (영어 : closed graph theorem )에 따르면, 두
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
,
W
{\displaystyle W}
사이의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
연속 함수 이다.
유계 작용소 이다.
graph
T
=
{
(
v
,
T
v
)
:
v
∈
V
}
⊆
V
⊕
W
{\displaystyle \operatorname {graph} T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W}
는 (곱위상 을 부여한)
V
⊕
W
{\displaystyle V\oplus W}
속의 닫힌집합 이다.
즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소 에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소 의 열에 대하여 균등 유계성 원리 가 성립한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-힐베르트 공간
⇒
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-반사 바나흐 공간
⇒
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
⇓
⇓
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-내적 공간
⟹
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
벡터 공간의 (하멜) 기저 나 힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저 라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.
바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수 라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.
분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
모든 분해 가능
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간은 르베그 공간
ℓ
1
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}
의 몫공간 이다. 즉,
ℓ
1
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}
에 닫힌
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-부분 벡터 공간
M
{\displaystyle M}
이 존재하여,
X
≅
ℓ
1
(
K
)
/
M
{\displaystyle X\cong \ell ^{1}(\mathbb {K} )/M}
이다.[9]
C
0
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}
의 부분 공간으로의 표현[ 편집 ]
바나흐-마주르 정리 (Banach-Mazur定理, 독일어 : Banach–Mazur theorem )에 따르면, 임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
에 대하여 다음이 성립한다.
어떤 콤팩트 하우스도르프 공간
K
{\displaystyle K}
및 등거리
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환
ι
:
V
→
C
0
(
K
,
K
)
{\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {K} )}
가 존재한다.
만약
V
{\displaystyle V}
가 분해 가능 공간 이라면, 등거리
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환
ι
:
V
→
C
0
(
[
0
,
1
]
,
K
)
{\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {K} )}
가 존재한다.
여기서
C
0
(
−
,
K
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {K} )}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
값의 연속 함수들의 바나흐 대수 이며, 그 위의 노름은
‖
f
‖
=
sup
x
∈
K
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in K}|f(x)|}
이다.
이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간
V
′
{\displaystyle V'}
의 단위 닫힌 공
K
=
ball
V
′
(
0
,
1
)
{\displaystyle K=\operatorname {ball} _{V'}(0,1)}
을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상 을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리 에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간 이다. 약한-* 위상 의 정의에 따라, 임의의
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
에 대하여 연속 함수
K
→
K
{\displaystyle K\to \mathbb {K} }
f
↦
f
(
v
)
{\displaystyle f\mapsto f(v)}
는 연속 함수 이다. 즉, 이는 연속 함수
V
→
C
0
(
K
)
{\displaystyle V\to {\mathcal {C}}^{0}(K)}
v
↦
(
f
↦
f
(
x
)
)
{\displaystyle v\mapsto (f\mapsto f(x))}
를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환 임을 쉽게 보일 수 있다.
만약
V
{\displaystyle V}
가 추가로 분해 가능 공간 이라면,
C
0
(
K
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {R} )}
는
C
0
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {R} )}
의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.
바나흐-마주르 콤팩트 공간 (영어 : Banach–Mazur compactum )이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간 이 존재한다.
자연수
n
{\displaystyle n}
및
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
및 두
n
{\displaystyle n}
차원 실수 바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
,
W
{\displaystyle W}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환 들의 공간
GL
(
V
,
W
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (V,W)}
을 생각할 수 있다. 이 경우,
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
사이의 바나흐-마주르 거리 (영어 : Banach–Mazur distance )는 다음과 같다.
d
(
V
,
W
)
=
ln
T
∈
GL
(
V
,
W
)
‖
T
‖
‖
T
−
1
‖
{\displaystyle d(V,W)=\ln _{T\in \operatorname {GL} (V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|}
여기서
‖
T
‖
{\displaystyle \|T\|}
는 작용소 노름 이다.
이는 삼각 부등식 을 만족시킨다.
n
{\displaystyle n}
차원
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수 를 통해 콤팩트 거리 공간 을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간 이라고 한다.
자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여, 유한 차원
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
K
n
{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}
위에 노름
‖
(
x
1
,
…
,
x
n
)
‖
=
|
x
1
|
2
+
⋯
+
|
x
n
|
2
{\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}}
를 부여하면, 이는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다.
임의의 측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
및 확장된 실수
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
에 대하여, 르베그 공간
L
p
(
X
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다.
수렴 수열 공간
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
과 영 수렴 수열 공간
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
은 둘 다
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다.
임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
에 대하여,
‖
v
‖
=
⟨
v
,
v
⟩
(
v
∈
H
)
{\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}\qquad (v\in {\mathcal {H}})}
로 노름을 정의하면 이는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다.
콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
위의,
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
값의 연속 함수 들의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
C
0
(
X
,
K
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}
에 다음과 같은 노름 을 줄 수 있다.
‖
f
‖
=
max
x
∈
X
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|}
이는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 대수 를 이룬다.
스테판 바나흐 가 1922년부터 연구하였다.[10] 이 밖에도, 한스 한 과 에두아르트 헬리 가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.
바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐 와 스타니스와프 마주르 가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐 가 1929년에 발표하였고,[11] :238 이듬해 율리우시 샤우데르 [12] 가 개량하였다.[13] :261, §5.4 [14] :466, §14.4
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