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유계 집합

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유계 집합(위)과 유계가 아닌 집합(아래)

수학에서 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

정의

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유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 무계 집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.

원순서 집합의 유계 집합

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원순서 집합 부분 집합 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다면, 위로 유계(영어: bounded from above)라고 하며, 상계(영어: upper bound)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여,

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다면, 아래로 유계(영어: bounded from below)라고 하며, 하계(영어: lower bound)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여,

유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

거리 공간의 유계 집합

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거리 공간 부분 집합 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 가 존재한다면, 유계 집합이라고 한다.

만약 전체가 유계라면, 유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

위상 벡터 공간의 유계 집합

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실수체 또는 복소수체라고 하자. -위상 벡터 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 (폰 노이만) 유계 집합이라고 한다.

  • 영벡터의 임의의 근방 에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 가 존재한다.
  • 영벡터의 임의의 근방 에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수 가 존재한다.
    • 임의의 에 대하여, 만약 라면
  • 임의의 점렬 에 대하여, 만약 이라면, 이다.[1]:23, Theorem 1.30

이때

이다.

서로 다른 정의의 호환

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일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

노름 공간거리 공간위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합 의 경우 전순서거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

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-위상 벡터 공간 에서,

성질

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  • 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다.
  • 집합 A의 모든 가산 부분집합이 유계이면 집합 A는 유계이다.

연산에 대한 닫힘

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-위상 벡터 공간 에서,

  • 유계 집합의 부분 집합은 자명하게 유계 집합이다.
  • 유계 집합의 폐포는 유계 집합이다.
  • 만약 국소 볼록 공간이라면, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계 집합이다. (국소 볼록성이 없다면, 공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)
  • 유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계 집합이다.

유계 함수와 유계 작용소

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-위상 벡터 공간 , 사이의 모든 연속 선형 변환 유계 작용소(즉, 유계 집합의 은 유계 집합)이다. 만약 제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소 연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환유계 함수일 수 없다.)

국소 유계 공간

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-위상 벡터 공간 에서, 영벡터 가 유계 근방을 갖는다면, 국소 유계 공간(영어: locally bounded space)이라고 한다.

모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.[1]:13, Theorem 1.15(c)

증명:

가 0의 근방이며, 유계 집합이라고 하자. 유계 집합의 정의에 따라

가 0의 국소 기저임을 보일 수 있으며, 이는 가산 집합이다.

-국소 볼록 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

일반화

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유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 R에 있는 위상 가군 M의 부분집합 A0M의 모든 근방 N에 대해서 w A ⊂ N가 성립하도록 하는 0R의 근방 w이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.

같이 보기

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각주

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  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001. 

외부 링크

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