Puslapis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Versija spausdinimui nebėra palaikoma ir gali turėti atkūrimo klaidų. Prašome atnaujinti savo interneto naršyklės žymes ir naudoti numatytąją interneto naršyklės spausdinimo funkciją.
Diferencialiniame skaičiavime pagrindinis tikslas yra surasti išvestinę . Šiame sąraše pateikiama daugybės matematinių funkcijų išvestinės. Toliau, f ir g yra diferencijuojamos realaus argumento funkcijos, ir c yra realusis skaičius. Šių formulių pakanka bet kokios elementarios funkcijos išvestinėms surasti.
Pagrindinės diferencijavimo taisyklės
Tiesiškumas
(
c
f
)
′
=
c
f
′
{\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}
(
f
±
g
)
′
=
f
′
±
g
′
{\displaystyle \left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'}
Daugybos taisyklė
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}
Dalybos taisyklė
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
,
g
≠
0
{\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}
Eksponentinės funkcijos taisyklė
(
e
f
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
(
e
f
(
x
)
)
{\displaystyle (e^{f(x)})'=f'(x)(e^{f(x)})}
Logaritminės funkcijos taisyklė
(
ln
(
f
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle (\ln(f(x)))'={f'(x) \over f(x)}}
Sudėtinės funkcijos taisyklė
f
′
(
g
(
x
)
)
=
f
′
(
t
)
g
′
(
x
)
,
t
=
g
(
x
)
{\displaystyle f'(g(x))=f'(t)g'(x),\,t=g(x)}
Paprastų funkcijų išvestinės
d
d
x
c
=
0
{\displaystyle {d \over dx}c=0}
d
d
x
x
=
1
{\displaystyle {d \over dx}x=1}
d
d
x
c
x
=
c
{\displaystyle {d \over dx}cx=c}
d
d
x
|
x
|
=
x
|
x
|
,
x
≠
0
{\displaystyle {d \over dx}|x|={x \over |x|},\qquad x\neq 0}
d
d
x
x
c
=
c
x
c
−
1
{\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}}
d
d
x
(
1
x
)
=
d
d
x
(
x
−
1
)
=
−
x
−
2
=
−
1
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}
d
d
x
(
1
x
c
)
=
d
d
x
(
x
−
c
)
=
−
c
x
c
+
1
{\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}}
d
d
x
x
=
d
d
x
x
1
2
=
1
2
x
−
1
2
=
1
2
x
,
x
>
0
{\displaystyle {d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}
Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinės
d
d
x
c
x
=
c
x
log
e
c
=
c
x
ln
c
,
c
>
0
;
{\displaystyle {d \over dx}c^{x}=c^{x}\log _{e}c={c^{x}\ln c},\qquad c>0;}
d
d
x
e
x
=
e
x
log
e
e
=
e
x
;
{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x};}
d
d
x
e
−
x
=
−
e
−
x
=
sinh
(
x
)
−
cosh
(
x
)
;
{\displaystyle {d \over dx}e^{-x}=-e^{-x}=\sinh(x)-\cosh(x);}
d
d
x
log
c
x
=
1
x
ln
c
,
c
>
0
,
c
≠
1
;
{\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1;}
d
d
x
ln
x
=
1
x
,
x
>
0
;
{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},\qquad x>0;}
d
d
x
ln
|
x
|
=
1
x
;
{\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x};}
d
d
x
x
x
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
.
{\displaystyle {d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x).}
Trigonometrinių funkcijų išvestinės
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}
d
d
x
tan
x
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}}
d
d
x
sec
x
=
tan
x
sec
x
=
sin
x
cos
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\sec x=\tan x\sec x={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}}
d
d
x
csc
x
=
−
csc
x
cot
x
=
−
cos
x
sin
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}}
d
d
x
cot
x
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}}
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}}
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}}
Hiperbolinių funkcijų išvestinės
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
d
d
x
tanh
x
=
sech
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x}
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
d
d
x
coth
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
d
d
x
arcsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arccosh
x
=
−
1
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccosh} \,x={-1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
arctanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}}
d
d
x
arcsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arccoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}
d
d
x
arccsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
Atvirkštinių funkcijų išvestinės
d
d
x
(
f
−
1
(
x
)
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
x
)
)
{\displaystyle {d \over dx}(f^{-1}(x))={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}
, bet kuriai diferencijuojamai realaus argumento funkcijai f su realiomis vertėmis, kada surasta kompozicija ir inversija egzistuoja.