Интегрално сметање: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8 |
|||
| (Не се прикажани 34 меѓувремени преработки од 15 корисници) | |||
Ред 1:
[[Податотека:Integral as region under curve.svg|мини|десно|Интеграл како подрајето под крива <math>S</math>]]
{{Анализа}}
'''Интегрално сметање''' — една од основните и најважни дисциплини на [[Математичка анализа|математичката анализа]]. Значењето на интегралното сметање (заедно со [[Диференцијално сметање|диференцијалното сметање]]) е од огромно, не само за [[математика]]та, туку и општо за останатите [[природни науки]].
Интегралното сметање може да се разгледува од различни аспекти. На пример, од една страна, '''интегрирањето''' е инверзна операција на '''диференцирањето'''; од друга страна пак, интегралот на дадена [[Пресликување|функција]] [[број]]но ја/го определува определува [[плоштина]]та/[[волумен]]от на фигура/тело во [[рамнина]]та/[[простор]]от.
Ред 11 ⟶ 9:
Условно, интегралите можат да се поделат на неопределени и определени. Што е разликата помеѓу нив, ќе видиме подолу.
== Неопределен интеграл ==
Вообичаено со разгледувањето на интегралите е да се почне со неопределените интеграли. Пред да го дефинираме неопределениот интеграл, ќе го воведеме поимот ''примитивна функција''. Имено, нека <math>\ f(x)</math> е произволна функција; за функцијата <math>\ F(x)</math> ќе речеме дека е '''примитивна''' за <math>\ f(x)</math> на [[интервал]]от <math>\ [a,b]</math> ако за секоја точка <math>\ x \in [a,b]</math> важи <math>\ F'(x) = f(x)</math>, каде со <math>\ F'(x)</math> е означен [[Диференцијално сметање|првиот извод]] на функцијата <math>\ F(x)</math>.
Ред 18 ⟶ 15:
: <math>\ F_2(x) = F_1(x) + C</math>, или
: <math>\ F_2(x) - F_1(x) = C</math>, <math>\ C \in \
Дефинираме '''неопределен интеграл''' на дадена функција <math>\ f(x)</math>: под неопределен интеграл на функција се подразбира '''множеството''' од сите примитивни функции на таа функција, т.е.:
Ред 24 ⟶ 21:
: <math>\ \int f(x)\ = {F(x) + C}</math>
каде <math>\ F(x)</math> е примитивна функција на <math>\ f(x)</math>, а <math>\ C \in \
Повообичаена ознака за интегралите (и неопределени и определени) е онаа која содржи „показател“ по која променлива е диференцирана подинтегралната функција:
Ред 30 ⟶ 27:
: <math>\ \int f(x)\, dx</math> наместо <math>\ \int f(x)</math>
Овие „додавки“ (во случајов <math>\ dx</math>) се нарекуваат ''диференцијали'' и може да се рече дека потекнуваат од старата ознака за изводот на функцијата. Имено, имајќи
: <math>\frac{df(x)}{dx} = f'(x)</math>,
Ред 40 ⟶ 37:
Изразот на десната страна кажува дека изводот на функцијата <math>\ f(x)</math> е пресметан во однос на променливата <math>\ x</math>, а под знакот на интеграл ова означува по која променлива се врши интеграцијата. Оваа „назнака“ е небитна и излишна кај функции од една променлива, но клучна кај функции од повеќе променливи.
=== Својства на неопределениот интеграл ===
Нека <math>\ f(x), g(x)</math> се функции дефинирани над исто множество. Интегрирањето ги има следниве својства:
Ред 75 ⟶ 72:
Согласно својствата '''2.''' и '''3.''', исто како и за диференцирањето, може да заклучиме дека ''интегрирањето е линеарна операција''.
== Основни правила за интегрирање ==
Постојат две основни правила за интегрирање: интегрирање по делови (парцијална интеграција) и интегрирање со замена на променливата.
Ред 85 ⟶ 82:
: <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du</math>
'''2. [[Интегрирање со смена на променливата]]:''' нека <math>\ F(z)</math> е примитивна за <math>\ f(z)</math> на некој интервал, а функцијата <math>\ \phi (x)</math> е диференцијабилна и определена така, што постои композицијата (составот, сложената функција):
Ред 94 ⟶ 90:
: <math>\int f(\phi(x)) \phi '(x)\,dx = F(\phi(x)) + C</math>
=== Таблица на основни интеграли ===
* '''Степенска функција:'''
Ред 106 ⟶ 102:
додека за <math>p = -1</math>:
: <math>\int x^{-1}\,dx = \int \frac{dx}{x}
* '''[[Експоненцијална функција]]:'''
: <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\
Специјално, за <math>\ a = e</math>:
Ред 117 ⟶ 112:
: <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>
* '''[[Тригонометриски функции|Тригонометриски]] и [[инверзни тригонометриски функции]]:'''
: <math>\int \
: <math>\int \
: <math>\int \frac{dx}{\
: <math>\int \frac{dx}{\
: <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}
: <math>\int \frac{dx}{1 + x^2}
: <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm k^2}}
Од наведеното, се забележува дека елементарните функции како <math>\ \operatorname{tg}x, \operatorname{ctg}x, \
== Примери ==
Основната задача при решавањето на интегралите е со помош на разни трасформации на подинтегралните функции и секако со помош на двете основни правила за интегрирање, тие да се сведат до таблични интеграли. Меѓутоа оваа постапка не секогаш е куса, лесна и очигледна.
* Да се пресмета: <math>I = \int \ln x\,dx</math>
Според правилото за интгрирање по делово, ставаме:
'''1.''' <math>u = \
''Напомена:'' изводот е помножен со <math>\ dx</math> зашто истиот се „бара“ по <math>\ x</math>!
Ред 153 ⟶ 147:
Така имаме:
: <math>\int \
:: <math> = x \
Значи: <math>\int \ln x\,dx = x (\ln x - 1) + C</math>
* Да се пресмета: <math>I = \int \operatorname{tg}x\,dx</math>
Ред 163 ⟶ 156:
Го разложуваме тангенсот согласно неговата дефиниција, па имаме:
: <math>I = \int \frac{\
Ставаме смена:
: <math>\ t = \
: <math>\ \
Конечно имаме:
: <math>I = \int \frac{\
Значи: <math>\int \operatorname{tg}x\,dx = - \
= Определен интеграл =
Определениот интеграл бројно ја определува плоштината на '''криволинискиот трапез''', односно '''делот од рамнината ограничен со апсцисата (<math>x</math>-оската), правите <math>x=a</math> и <math>x=b</math> и [[график]]от на функцијата <math>f(x)</math>'''. Ова значи дека определениот интеграл како решение има [[реален број]], за разлика од неопределениот интеграл кој за решение има [[Пресликување|функција]].
Иако целта при дефинирањето на определениот интеграл е иста, постојат повеќе еквивалентни дефиниции на овој поим. При воведувањето на поимот најчесто се користи дефиницијата на [[Бернард Риман|Риман]] или нејзината варијација - дефиницијата според [[Гастон Дарбу|Дарбу]].
Најпрво ќе воведеме неколку поими кои ќе ги користиме понатаму. Нека <math>\ f(x)</math> е произволна реална функција определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>.
* Множеството <math>\ T = \{x_0, x_1,
* За секое разбивање <math>\ T</math> определуваме:
:: <math>\ \Delta x_i = x_{i+1} - x_i</math>
Ред 193 ⟶ 183:
== Риманов интеграл ==
[[
Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и нека за него избереме произволно разбивање <math>\ T = \{x_0, x_1,
:: <math>\ R(T) = \sum_{i=0}^{n-1} f(u_i)\Delta x_i</math>
Ред 202 ⟶ 192:
Римановата сума бројно ја претставува плоштината на сите правоаголници кои ја формираат скалестата фигура (видете ја сликата). Меѓутоа, таа само ''приближно'' ја определува плоштината на криволинискиот трапез. Јасно е дека, доколку во разбивањето избереме повеќе точки, разликата меѓу плоштината определена со римановата сума и вистинската плоштина ќе биде помала. За објективно да се пресмета бараната плоштина, оваа разлика мора да се оцени, т.е. да се сведе на минимум, да се стреми кон нула. Така ја имаме следнава дефиниција на поимот определен интеграл:
:'''Бројот <math>\ I_R \in \
:<math>\ \left| \sum_{i=0}^{n-1} f(u_i)\Delta x_i - I_R \right| = \left| R(T) - I_R \right| < \epsilon</math>'''
Ред 210 ⟶ 200:
<math>\ I_R = \int_a^b f(x)\, dx</math>
== Интеграл на Дарбу ==
Ако изборот на точките <math>u_i \in [x_i,x_{i+1}], i \in \{0,1,
: <math>R(T) = \sum_{i=0}^{n-1} f(u_i)\Delta x_i</math>
Ред 219 ⟶ 209:
* <math>\ u_i = \sup_{} \{f(x) | x \in [x_i,x_{i+1}] \} = M_i</math>, односно:
* <math>\ u_i = \inf_{} \{f(x) | x \in [x_i,x_{i+1}] \} = m_i</math>,
Ред 225 ⟶ 214:
* <math>S(T) = \sum_{i=0}^{n-1} M_i \Delta x_i</math> и
* <math>s(T) = \sum_{i=0}^{n-1} m_i \Delta x_i</math>
се нарекуваат '''горна''' и '''долна сума на Дарбу''' соодветно.
Јасно е следново: ако го зголемуваме бројот на точки во разбивањето <math>\ T</math>, така се намалува разликата <math>M_i - m_i, i \in \{0, 1,
: <math>\ S(T) - s(T)</math>
Ред 236 ⟶ 224:
Тогаш можеме да ја дадеме следнава дефиниција:
'''Реалната функција <math>\ f(x)</math> е интеграбилна во смисла на Дарбу (или ''според Дарбу'') на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако за секој <math>\ \epsilon > 0</math>, постои <math>\ \delta > 0</math> такви што за секое разбивање <math>\ T= \{a = x_0, x_1,
што значи: разликата помеѓу сумите на Дарбу да се направи произволна. Ако функцијата ги испонува условите од дефиницијата, тогаш важи:
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (S(T) - s(T)) = 0</math>, односно:
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} S(T) = \lim_{n \rightarrow \infty} s(T) = I_D \in \
За реалниот број <math>\ I_D</math> се вели дека е определен интеграл на функцијата <math>\ f(x)</math> на интервалот <math>\ [a,b]</math> и се бележи:
Ред 255 ⟶ 243:
Напомена: во оваа статија е направен ''премин'' од Риманов интеграл на интеграл на Дарбу. Општо, меѓутоа, тие претставуваат два ''различни'' пристапи кон истиот поим.
== Пресметување на определениот интеграл ==
Покрај пресметувањето според дефиницијата (т.е. дефинициите), што е непрактично, определениот интеграл се пресметува на два начина: '''точно''' (конкретно, директно) и '''приближно''' (или
Кај функциите кои имаат примитивна функција на интервалот на кој се интегрира, се користи [[Исак Њутн|Њутн]]-[[Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]]овата формула (позната и како [[
:: <math>\int_a^b f(x)\,dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)</math>
Ред 267 ⟶ 255:
:: <math>\int_a^b f'(x)\,dx = f(x)|_a^b = f(b) - f(a)</math>
Кај функциите кои немаат примитивна функција на интервалот на кој се интегрира, или пак имаат примитивна функција, но таа не може да се изрази преку ''основните'' функции, се пристапува кон приближно пресметување на интегралот. Приближното пресметување главно се состои во трансформација и оценка на сумите од дефинициите за определен интеграл, најчесто со помош на [[ред]]ови.
За определените интеграли важи, малку видоизменето, правилото за [[интегрирање по делови]] (парцијална интеграција) и, дополнително, за [[Интегрирање со смена на променливата|смена на променливата]]:
Ред 274 ⟶ 262:
<math>\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx</math>
* Ако <math>\ \phi:[a,b] \rightarrow [c,d]</math> има непрекинат извод во секоја точка од <math>\ [a,b]</math>, а <math>\ f:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}</math> е непрекината во секоја точка од <math>\ [c,d]</math>, тогаш:
<math>\int_a^b f( \phi (t) )\phi '(t)\,dt = \int_{\phi (a)}^{\phi(b)} f(x)\,dx</math>
== Својства ==
За определениот интеграл важат некои од својствата на неопределениот интеграл. Но, најпрво, подинтегралната функција мора да биде ''интеграбилна'', т.е. определениот интеграл кој го пресметуваме да постои во множеството на [[Реален број|реални броеви]]. Доволен услов таа да биде интеграбилна е да биде [[Непрекинатост|непрекината]] во секоја точка од интервалот. Дополнително, ако функцијата е интеграбилна на интервал, тогаш е интеграбилна на секој негов подинтервал.
* Нека <math>\ f</math> е интеграбилна на <math>\ [a,b]</math>, тогаш:
<math>\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx</math>, за секој <math>\ a < c <b</math>
* Нека <math>\ c \in \
<math>\int_a^b c f(x)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx</math>
Ред 292 ⟶ 278:
<math>\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx</math>
* Нека <math>\ f:[a,b] \rightarrow [c,d]</math> е интеграбилна и ограничена на <math>\ [a,b]</math> и нека <math>\ g:[c,d] \rightarrow \
<math>\int_a^b f( g(x) )\,dx</math>
== Примена и значење ==
Значењето на определениот интеграл е навистина големо. Покрај важноста во рамките на самата математика, определениот интеграл е многу важна алатка и во останатите природни науки, а особено [[физика]]та.
Ред 304 ⟶ 290:
бројно ја определува плоштината на криволинискиот трапез ограничен со <math>\ x</math>-оската, правите <math>\ x=a</math> и <math>\ x=b</math> и кривата <math>\ y=f(x)</math>.
Од друга страна, со математичка манипулација, со помош на определен интеграл може да се пресмета должина на произволна крива определена со графикот на подинтегралната функција, т.е. да се пресмета ''должината'' на графикот на одредена функција. Ако функцијата <math>\ f</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>, тогаш должината на нејзиниот график почнувајќи од точката <math>\ (a,f(a))</math> и завршувајќи во точката <math>\ (b,f(b))</math> изнесува:
Ред 310 ⟶ 295:
<math>\ L_{[a,b]} = \int_a^b \sqrt[]{1 + (f'(x))^2}\,dx</math>
Исто така, на сличен начин се пресметуваат и волумен и плоштина на вртежни тела. Така волуменот што го зафаќа телото кое ротира околу <math>\ x</math>-оската и е ограничено со правите <math>\ x=a</math> и <math>\ x=b</math> и кривата <math>\ y=f(x)</math> бројно е определен како:
<math>V_{[a,b]} = \pi \int_a^b (f(x))^2\,dx</math>
Ред 317 ⟶ 301:
Плоштината ''на обвивката'' на телото образувано под истите услови бројно е определена како:
<math>\ S_{[a,b]} = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt
== Примери ==
Начинот (техниката) на интегрирање и примената на определениот интеграл ќе ги илустрираме паралелно (заедно).
* '''Плоштина на рамнинска фигура'''
[[
Ќе ја пресметаме плоштината на ''криволинискиот триаголник'' претставен на сликата, ограничен со <math>\ x</math>-оската, [[права]]та <math>\ x = e</math> и кривата (графикот на функцијата) <math>\ f(x) = \operatorname{ln} x</math>. Јасно е од сликата дека интервалот на интегрирање е <math>\ [1,e]</math> каде <math>\ e</math> e [[е|Неперовиот број - основа на природниот логаритам]], <math>\ e = 2,71828182
<math>P = \int_1^e \
Имајќи предвид дека примитивна функција за <math>\ f(x) = \operatorname{ln} x</math> е <math>\ F(x) = x(\operatorname{ln} x - 1)</math> (видете ги примерите за неопределен интеграл), согласно Њутн-Лајбницовата формула се добива:
<math>P = F(e) - F(0) = e(\
Значи плоштината на криволинискиот триаголник изнесува точно ''единица''.
* '''Должина на график на функција'''
[[
Ќе ја пресметаме должината на графикот на функцијата <math>f(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}</math> од точката<math>\ (0,f(0)) = (0,0)</math> до точката <math>\ (3,f(3)) = (3,2\sqrt{3})</math>. За должината имаме:
Ред 346 ⟶ 329:
За <math>\ f'(x)</math> имаме: <math>\ f'(x) = \frac{2}{3} \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{x}</math>, од каде следи: <math>\ (f'(x))^2 = x</math>. Така:
<math>L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \int_0^3 (1 + x)^{1/2}\,d(1 + x) = \left.\frac{(1 + x)^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right|_0^3 = </math>
<math>= \left.\frac{2}{3} (1 + x)^{3/2}\right|_0^3 = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}\cdot 7 = \frac{14}{3}</math>
Значи должината на графикот на функцијата на посочениот интервал е ''четиринаесет третини''.
* '''Волумен на вртежно тело'''
[[Податотека:Volumen_na_rotaciono_telo.PNG|right|thumb|Тело добиено со свртување (ротација) на функцијата <math>\ f(x)= \sqrt{x}</math> околу <math>\ x</math>-оската]]
Ќе го пресметаме волуменот на телото добиено со свртување на графикот на функцијата <math>\ f(x)= \sqrt{x}</math> околу <math>\ x</math>-оската, на интервалот <math>\ [0,\sqrt{2}]</math>. Според погорната формула имаме:
<math>\ V = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^{\sqrt{2}} x\,dx =\left. \pi \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0^{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{2} \left( \left(\sqrt{2}\right)^2 - 0 \right) =</math>
<math>= \frac{\pi}{2}\cdot 2 = \pi</math>
Ред 364 ⟶ 346:
Значи волуменот на телото на посочениот интервал изнесува <math>\ \pi</math>-''единици''
* '''Плоштина на вртежно тело'''
Ќе ја пресметаме плоштината на обвивката на телото добиено со свртување на графикот на функцијата <math>\ f(x) = e^x</math> околу <math>\ x</math>-оската, на интервалот <math>\ [0,1]</math>. Заради својствата на експоненцијалната функцијата - <math>e^x</math> имаме: <math>\ f(x) = f'(x) = e^x</math>, т.е. <math>\ (f'(x))^2 = e^{2x}</math>, па согласно формулата се добива:
<math>S = 2\pi \int_0^1 e^x\sqrt{1+e^{2x}}\,dx</math>
Ред 378 ⟶ 359:
Следи:
<math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \int_1^e \frac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2}}\,dt =</math>
Ред 385 ⟶ 365:
Ќе ги решиме интегралите <math>\ I_1</math> и <math>\ I_2</math> одделно. Прво <math>\ I_1</math>:
<math>I_1 = \
(за решението на интегралот <math>\ I_1</math>, видете ја таблицата на основни интеграли во делот Неопределен интеграл)
Ред 397 ⟶ 377:
Соласно формилата за интегрирање по делови, следи:
<math>\ I_2 = \left.t\sqrt{1+t^2}\right|_1^e - \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt</math>
Конечно:
Ред 405 ⟶ 385:
Заради <math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt</math>, добиваме:
<math>\ 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \left (\
<math>\ 4\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \left (\
<math>\ 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = \pi \left (\
Односно, конечно за плоштината добиваме:
<math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = \pi \left (\
== Извори ==
* [http://pmfweb.pmf.ukim.edu.mk/mediawiki/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%84._%D0%B4%D1%80._%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D0%A8%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8 Шекутковски, Никита] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20071221181906/http://pmfweb.pmf.ukim.edu.mk/mediawiki/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%84._%D0%B4%D1%80._%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D0%A8%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8 |date=2007-12-21 }}: ''Математичка анализа I'', Просветно Дело, Скопје, 1996
* Apsen, Boris: ''Repetitorij više matematike, drugi dio'' - Četvrto izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1966
{{
[[Категорија:Интегрално сметање| ]]
[[Категорија:Сметање]]
| |||