Getransponeerde matrix

concept in lineaire algebra

In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix of kortweg de getransponeerde van een matrix de matrix die ontstaat door een van de onderstaande twee acties op uit te voeren:

  • Schrijf de rijen van als de kolommen van .
  • Schrijf de kolommen van als de rijen van .
Het bepalen van de getransponeerde matrix van een matrix en hetzelfde nog een keer uitvoeren, zodat er weer komt.

Als een vierkante matrix is komt dat er op neer dat om zijn hoofddiagonaal wordt gespiegeld. Als men hetzelfde voor de tweede keer uitvoert, is het resultaat de oorspronkelijke matrix , ook als geen vierkante matrix is.

wordt ook geschreven als of als . De notatie wordt in MATLAB voor de getransponeerde matrix van gebruikt.

De Britse wiskunde Arthur Cayley heeft de getransponeerde matrix in 1858 ingevoerd.[1]

Definitie

bewerken

De getransponeerde matrix van een  -matrix   is de  -matrix   gedefinieerd door:

  voor  

Voorbeelden

bewerken
  •  
  •  

Eigenschappen

bewerken

Voor de matrices   en   en de scalair   gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:

  •  
De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie, een bewerking die haar eigen inverse is.
  •  
Transponeren behoudt optelling.
  •  
Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan worden afgeleid dat een vierkante matrix   inverteerbaar is dan en slechts dan als   inverteerbaar is en in dat geval is   Dit resultaat kan worden uitgebreid naar het algemene geval van meer dan twee matrices. Dan geldt  .
  •  
De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de vectorruimte van  -matrices naar de ruimte van alle  -matrices.
  •  
Het spoor van een vierkante matrix is gelijk aan het spoor van zijn getransponeerde matrix.
  •  
De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.
  •  
De rang van iedere matrix   is gelijk aan de rang van de getransponeerde matrix   van  
 
  • Als de matrix   alleen reële elementen heeft, dan is   een positief-semidefiniete matrix.
  • Als   een matrix is over een lichaam/veld, dan is   gelijksoortig met  
  •  
Voor een inverteerbare matrix   is de getransponeerde van de inverse matrix de inverse van de getransponeerde.
  • Als   een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde matrix.

Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositie

bewerken
  • Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd, dat wil zeggen dat   symmetrisch is als geldt
 
  • Een vierkante matrix waarvan de getransponeerde ook de inverse matrix is, is een orthogonale matrix. Dat wil zeggen dat de matrix   orthogonaal is als geldt
 , waarin   de eenheidsmatrix is
dus
 
De kolommen van   zijn orthonormaal.
  • Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd. Dat wil zeggen dat de matrix   antisymmetrisch is als
 
 
Dit wordt vaak afgekort tot  . Dus