Komplekst tall: Forskjell mellom sideversjoner
m r2.6.1) (robot Legger til: fo:Fløkjutal |
→Komplekse vektorrom: Klargjort definitionen. |
||
(41 mellomliggende versjoner av 21 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
[[Fil:Complex number illustration.svg|thumb|240px|Et komplekst tall <math>a + bi</math> fremstilt som en [[vektor (matematikk)|vektor]] i det komplekse planet.]] |
|||
'''Et komplekst tall''' er tall på formen ''a + ib'', der ''a'' og ''b'' er [[reelt tall| reelle tall]] og ''i'' er den [[imaginær enhet | imaginære enheten]], med egenskapen <math>i^2 = -1.</math> |
|||
Et '''komplekst tall''' er i [[matematikk]] et tall på formen <math>a + bi</math>, der <math>a</math> og <math>b</math> er [[reelt tall|reelle tall]], og <math>i</math> er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]] med egenskapen <math>i^2 = -1</math>. |
|||
[[Mengde]]n av komplekse tall skrives vanligvis '''C''' eller <math>\mathbb{C}</math>. Denne mengden inneholder de reelle tallene '''R''' som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utviding av begrepet reelle tall. |
|||
[[Mengde]]n av komplekse tall skrives vanligvis '''C''' eller <math>\mathbb{C}</math>. Denne mengden inneholder de reelle tallene '''R''' (eller <math>\mathbb{R}</math>) som en [[delmengde]], og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall. |
|||
Et komplekst tall ''z = a + ib'' er definert ved en ''realdel'' ''a = Re(z)'' og en ''imaginærdel'' ''b = Im(z)''. Dersom ''a = 0'' sies tallet å være ''rent imaginært''. |
|||
Et komplekst tall <math>z = a + bi</math> er definert ved en '''realdel''' <math>a = \text{Re}\ z</math> og en '''imaginærdel''' <math>b = \text{Im}\ z</math>. Hvis <math>a = 0</math>, sies tallet å være «rent imaginært». |
|||
Mange assosierer komplekse tall med løsningen av [[andregradsligning]]er, som for eksempel ligningen <math>x^2 = -1</math>. Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange deler av [[matematisk analyse]] og i [[anvendt matematikk]]. Studiet av ''komplekse funksjoner'', det vil si [[funksjon (matematikk) | funksjon]]er der [[definisjonsmengde]]n og/eller [[verdimengde]]n ligger i '''C''', kalles ''kompleks analyse''. |
|||
Mange assosierer komplekse tall med løsningen av [[andregradsligning]]er, som for eksempel ligningen <math>x^2 = -1</math>. Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange grener av matematikk. Studiet av ''komplekse funksjoner'', det vil si [[funksjon (matematikk)|funksjon]]er der [[definisjonsmengde]]n og/eller [[verdimengde]]n ligger i '''C''', kalles [[kompleks analyse]]. |
|||
[[Matematikk]] bruker en mer formell innføring av komplekse tall, basert på definisjon av operasjonene [[addisjon]] og [[multiplikasjon]] for komplekse tall. |
|||
Formelt blir komplekse tall definert basert på definisjon av operasjonene [[addisjon]] og [[multiplikasjon]] for tallmengden. |
|||
== Formell definisjon av komplekse tall == |
== Formell definisjon av komplekse tall == |
||
Formelt er et komplekst tall |
Formelt er et komplekst tall <math>z</math> innført som et [[ordnede par|ordnet par]] av reelle tall <math>(a,b)</math>, definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon: |
||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{ |
\begin{align} |
||
(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) \\ |
(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) \\ |
||
(a,b)(c,d) &= (ac-bd,ad + bc) |
(a,b)(c,d) &= (ac-bd,ad + bc) \\ |
||
\end{ |
\end{align} |
||
</math> |
</math> |
||
[[Mengde]]n av komplekse tall utgjør en [[kropp (matematikk) | kropp]]. |
[[Mengde]]n av komplekse tall utgjør en [[kropp (matematikk) | kropp]]. |
||
Reelle tall er en |
Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives <math>r = (r,0)</math>. Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall. Ordningsrelasjoner i <math>R</math> lar seg imidlertid ikke generalisere til <math>C</math>, slik at <math>z_1 < z_2</math> har mening bare for reelle verdier av <math>z_1</math> og <math>z_2</math>. |
||
Den |
Den imaginære enheten <math>i</math> er definert ved <math>i = (0, 1)</math>. Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at <math>i^2 = (0, 1)(0, 1) = (-1,0) = -1</math>. |
||
== Grunnleggende definisjoner og egenskaper == |
== Grunnleggende definisjoner og egenskaper == |
||
=== Additiv og multiplikativ invers === |
|||
Til ethvert komplekst tall <math>z = a + bi</math> eksisterer det en additiv invers <math>(-z) = (-a - bi)</math>, slik at <math>z + (-z) = 0</math>. Den additive inversen er brukt til å definere [[subtraksjon]]. |
|||
Til ethvert komplekst tall <math>z = a + bi</math> ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers <math>z^{-1}</math>, slik at <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>: |
|||
=== Additiv og mulitplikativ invers === |
|||
Til ethvert komplekst tall ''z = a + ib'' eksisterer det en additiv invers ''(-z) = (-a - ib)'' slik at ''z + (-z) = 0''. Den additive inversen er brukt til å definere [[subtraksjon]]. |
|||
:<math>z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i \frac{b}{a^2 + b^2} </math> |
|||
Til ethvert komplekst tall ''z = a + ib'' ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers <math>z^{-1}</math>, slik at <math>z z^{-1} = 1</math>: |
|||
:<math> |
|||
z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i \frac{b}{a^2 + b^2} </math> |
|||
=== Absoluttverdi === |
=== Absoluttverdi === |
||
'' |
''[[Absoluttverdi]]en'' eller ''modulus'' til et komplekst tall <math>z = a + bi</math> er definert ved |
||
:<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\, </math> |
:<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\, </math> |
||
Linje 44: | Linje 44: | ||
=== Kompleks konjungert === |
=== Kompleks konjungert === |
||
Den [[kompleks konjugasjon | kompleks konjungerte]] til et komplekst tall |
Den [[kompleks konjugasjon | kompleks konjungerte]] til et komplekst tall <math>z = a + bi</math> er definert ved |
||
:<math>\bar{z} = a - bi |
:<math>\bar{z} = a - bi</math> |
||
Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at |
Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at |
||
:<math>z \bar{z} = |z|^2 |
:<math>z \bar{z} = |z|^2</math> |
||
== Geometrisk tolkning == |
|||
[[Fil:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|320px|Det komplekse tallet <math>z = (a, b) = a + bi</math> vist i det komplekse planet.]] |
|||
Ethvert komplekst tall <math>(a, b) = a + bi</math> kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, [[kartesisk koordinatsystem]], som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen. |
|||
== Geometrisk tolkning av komplekse tall == |
|||
[[Fil:Gaussplane_kartesianAndPolar.png|frame|Argand-diagram for det komplekse tallet z = (a,b) = a + ib.]] |
|||
Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren [[Caspar Wessel]], men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren [[Jean Robert Argand]]. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter [[Carl Friedrich Gauss]] eller ganske enkelt det '''komplekse planet'''. |
|||
Ethvert komplekst tall ''(a,b) = a + ib'' kan representeres ved et punkt i et [[kartesisk koordinatsystem]], som vist i figuren til høyre. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den relle aksen og den imaginære aksen. |
|||
Siden den kompleks konjungerte til tallet <math>z = a + bi</math> er definert ved <math>\bar{z} = a - bi</math> representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet. |
|||
Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den dansk-norske matematikeren [[Caspar Wessel]], men framstillingsmåten kalles idag et ''Argand-diagram'', etter den sveitsiske matematikeren [[Jean Robert Argand]]. Alternativt brukes også navnet et ''gaussisk plan'' eller et ''komplekst plan''. |
|||
Rotasjonsvinkelen <math>\phi</math> som vektoren <math>(a,b)</math> danner med den reelle aksen kalles ''argumentet'' til det komplekse tallet, og fra figuren følger de [[trigonometri | trigonometriske]] relasjonene |
|||
Siden den kompleks konjungerte til tallet ''z = a + ib'' er definert ved <math>\bar{z} = a - bi </math> |
|||
representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet. |
|||
Rotasjonsvinkelen <math>\phi</math> som vektoren ''(a,b)'' danner med den reelle aksen kalles ''argumentet'' til det komplekse tallet, og fra figuren følger de [[trigonometri | trigonometriske]] relasjonene |
|||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{ |
\begin{align} |
||
a &= |z|\cos \phi \\ |
a &= |z|\cos \phi \\ |
||
b &= |z| \sin \phi |
b &= |z| \sin \phi \\ |
||
\end{ |
\end{align} |
||
</math> |
</math> |
||
== Polarform== |
== Polarform== |
||
For et gitt kompleks tall |
For et gitt kompleks tall <math>z = a + bi</math> definerer absoluttverdien <math>|z|</math> og argumentet <math>\phi</math> et sett av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]], og <math>|z|</math> kan skrives på ''trigonometrisk form'' som |
||
:<math>z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi) |
:<math>z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi)</math> |
||
Alternativt kan |
Alternativt kan man bruke en ''eksponential form'' |
||
:<math>z = |z| e^{i \phi} |
:<math>z = |z| e^{i \phi}</math> |
||
basert på [[Eulers formel]] for sammenhengen mellom [[eksponentialfunksjon]]en og trigonometriske funksjoner |
basert på [[Eulers formel]] for sammenhengen mellom [[eksponentialfunksjon]]en og [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]], |
||
:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi |
:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi</math> |
||
Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at |
Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at |
||
:<math> r_1e^{i\phi} \cdot r_2e^{i\theta} = r_1r_2e^{i(\phi+\theta)}</math> |
:<math> r_1e^{i\phi} \cdot r_2e^{i\theta} = r_1r_2e^{i(\phi+\theta)}</math> |
||
Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet |
Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet <math>re^{i \phi}</math>, tolkes som en forlenging med faktoren <math>r</math>, samt en rotasjon med vinkelen <math>\phi</math>. |
||
For divisjon av to komplekse tall gjelder |
For divisjon av to komplekse tall gjelder |
||
:<math> \frac{r_1e^{i\phi}}{r_2e^{i\theta}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\phi-\theta)}</math> |
:<math> \frac{r_1e^{i\phi}}{r_2e^{i\theta}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\phi-\theta)}</math> |
||
==Komplekse vektorrom== |
|||
Et [[vektorrom]] er lukket under operasjonene |
|||
:<math>\mathbf{w} = \mathbf{x} + \mathbf{y}</math> |
|||
:<math>\mathbf{u} = \alpha \mathbf{v}</math> |
|||
der <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> er vektorer og <math>\alpha</math> en [[skalar]]. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar skalarene være komplekse tall.<ref name=Lin133>[[#Lin|Lindstrøm: ''Spaces: An Introduction to Real Analysis'', side 133]]</ref> |
|||
===Rommet <math>\mathbb{C}^n</math>=== |
|||
{{Tallmengder}} |
|||
Vektorrommet <math>\mathbb{C}^n</math> består av alle ordnede [[tuppel|n-tupler]] av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen |
|||
: <math> [ c_1, c_2, ..., c_n ]</math> |
|||
der <math>c_1, .. , c_n</math> er komplekse tall.<ref name="Lar455">[[#Lar|Larson: ''Elementary linear algebra'']], side 455.</ref> Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved |
|||
: <math>z \cdot w = z\overline{w}\,</math> |
|||
[[Kategori:Kompleks analyse]] |
|||
[[Kategori:Tall]] |
|||
[[Kategori:Viktige artikler]] |
|||
som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i <math>\mathbb{R}^n</math>, er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i <math>\mathbb{R}^n</math>, men i tillegg holder også at |
|||
<!-- --> |
|||
:<math>z \cdot w = \overline{w \cdot z}</math> |
|||
{{Link UA|lmo}} |
|||
hvilket man kan vise direkte ved regning.<ref name="Lar458">[[#Lar|Larson: ''Elementary linear algebra'']], side 485.</ref> <math>\mathbb{C}^n</math> sammen med det tilordnede indreproduktet danner et [[indreprodukt|indreproduktrom]]. |
|||
[[af:Komplekse getal]] |
|||
[[ar:عدد مركب]] |
|||
== Se også== |
|||
[[an:Numero compleixo]] |
|||
* [[Caspar Wessel]] |
|||
[[az:Kompleks ədədlər]] |
|||
[[bn:জটিল সংখ্যা]] |
|||
== Referanser == |
|||
[[zh-min-nan:Ho̍k-cha̍p-sò͘]] |
|||
<references /> |
|||
[[be:Камплексны лік]] |
|||
[[be-x-old:Камплексны лік]] |
|||
==Litteratur== |
|||
[[bs:Kompleksan broj]] |
|||
* {{Kilde bok | etternavn=Adams | fornavn=Robert | tittel=Calculus : a complete course | byrå=Addison-Wesley | sted=Toronto, Ont | dato=2003 | isbn=0-201-79131-5 | språk=english | ref={{sfnref | Adams | 2003 |}}}} |
|||
[[bg:Комплексно число]] |
|||
* {{Kilde bok | etternavn1=Clapham | fornavn1=C. | etternavn2=Nicholson | fornavn2=J. | tittel=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics | byrå=OUP Oxford | serie=Oxford Quick Reference | dato=2009 | isbn=978-0-19-157976-9 | url=http://books.google.com/books?id=WGxoVJcM4xgC | ref={{sfnref| Clapham | Nicholson | 2009}} | besøksdato=2016-08-30}} |
|||
[[ca:Nombre complex]] |
|||
* {{ Kilde bok |
|||
[[cs:Komplexní číslo]] |
|||
| ref=Lar |
|||
[[cy:Rhif cymhlyg]] |
|||
| fornavn = R. |
|||
[[da:Komplekse tal]] |
|||
| etternavn = Larson |
|||
[[de:Komplexe Zahl]] |
|||
| utgave = 7 |
|||
[[et:Kompleksarv]] |
|||
| utgivelsesår = 2015 |
|||
[[el:Μιγαδικός αριθμός]] |
|||
| tittel = Elementary Linear Algebra |
|||
[[eml:Nómmer cumplês]] |
|||
| forlag = Brooks/Cole, Cengage learning |
|||
[[en:Complex number]] |
|||
| isbn = 978-1-133-11087-3 |
|||
[[es:Número complejo]] |
|||
}} |
|||
[[eo:Kompleksa nombro]] |
|||
* {{Kilde bok | etternavn=Lindstrøm | fornavn=T.L. | tittel=Kalkulus | byrå=Universitetsforlaget | dato=2006 | isbn=978-82-15-00977-3 | url=http://books.google.com/books?id=4E1ytwAACAAJ | språk=no | ref={{sfnref | Lindstrøm | 2006}} | besøksdato=2016-08-30}} |
|||
[[eu:Zenbaki konplexu]] |
|||
* {{ Kilde bok |
|||
[[fa:عدد مختلط]] |
|||
| ref=Lin |
|||
[[fo:Fløkjutal]] |
|||
| etternavn = Lindstrøm |
|||
[[fr:Nombre complexe]] |
|||
| fornavn = T.L. |
|||
[[fy:Kompleks getal]] |
|||
| utgivelsesår = 2018 |
|||
[[ga:Uimhir choimpléascach]] |
|||
| tittel = Spaces: An Introduction to Real Analysis |
|||
[[gl:Número complexo]] |
|||
| forlag = American Mathematical Society |
|||
[[gan:複數]] |
|||
| serie = Pure and Applied Undergraduate Texts |
|||
[[xal:Комплексин тойг]] |
|||
| isbn = 978-1-470-44062-6 |
|||
[[ko:복소수]] |
|||
}} |
|||
[[hi:समिश्र संख्या]] |
|||
* {{Kilde bok | etternavn=Lindström | fornavn=S.B. | tittel=Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: | byrå=Stefan B. Lindström | dato=2013 | isbn=978-91-981287-0-3 | url=http://books.google.com/books?id=GgoaAwAAQBAJ&pg=PA126 | språk=sv | ref={{sfnref | Lindström | 2013 |}} | besøksdato=2016-08-30}} |
|||
[[hr:Kompleksni broj]] |
|||
[[id:Bilangan kompleks]] |
|||
==Eksterne lenker== |
|||
[[is:Tvinntölur]] |
|||
*{{MathWorld|title=Complex Number|urlname=ComplexNumber}} |
|||
[[it:Numero complesso]] |
|||
[[he:מספר מרוכב]] |
|||
[[ka:კომპლექსური რიცხვი]] |
|||
{{Tallmengder}} |
|||
[[lo:ຈຳນວນສົນ]] |
|||
{{Autoritetsdata}} |
|||
[[la:Numerus complexus]] |
|||
[[lv:Komplekss skaitlis]] |
|||
[[Kategori:Kompleks analyse]] |
|||
[[lt:Kompleksinis skaičius]] |
|||
[[Kategori:Tall]] |
|||
[[jbo:relcimdyna'u]] |
|||
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]] |
|||
[[lmo:Nümar cumpless]] |
|||
[[hu:Komplex számok]] |
|||
[[mk:Комплексен број]] |
|||
[[mg:Isa haro]] |
|||
[[ml:മിശ്രസംഖ്യ]] |
|||
[[ms:Nombor kompleks]] |
|||
[[my:ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]] |
|||
[[nl:Complex getal]] |
|||
[[ja:複素数]] |
|||
[[nn:Komplekse tal]] |
|||
[[oc:Nombre complèxe]] |
|||
[[pnb:کمپلیکس نمبر]] |
|||
[[km:ចំនួនកុំផ្លិច]] |
|||
[[pms:Nùmer compless]] |
|||
[[pl:Liczby zespolone]] |
|||
[[pt:Número complexo]] |
|||
[[ro:Număr complex]] |
|||
[[ru:Комплексное число]] |
|||
[[sah:Комплекс ахсаан]] |
|||
[[sq:Numrat kompleks]] |
|||
[[scn:Nùmmuru cumplessu]] |
|||
[[si:සංකීර්ණ සංඛ්යා]] |
|||
[[simple:Complex number]] |
|||
[[sk:Komplexné číslo]] |
|||
[[sl:Kompleksno število]] |
|||
[[sr:Комплексан број]] |
|||
[[sh:Kompleksan broj]] |
|||
[[fi:Kompleksiluku]] |
|||
[[sv:Komplexa tal]] |
|||
[[tl:Masalimuot na bilang]] |
|||
[[ta:சிக்கலெண்]] |
|||
[[tt:Комплекс сан]] |
|||
[[te:సంకీర్ణ సంఖ్యలు]] |
|||
[[th:จำนวนเชิงซ้อน]] |
|||
[[tr:Karmaşık sayı]] |
|||
[[uk:Комплексні числа]] |
|||
[[ur:مختلط عدد]] |
|||
[[vi:Số phức]] |
|||
[[fiu-vro:Kompleksarv]] |
|||
[[zh-classical:複數]] |
|||
[[vls:Complexe getalln]] |
|||
[[war:Complex number]] |
|||
[[yo:Nọ́mbà tóṣòro]] |
|||
[[zh-yue:複數]] |
|||
[[bat-smg:Kuompleksėnis skaitlios]] |
|||
[[zh:复数 (数学)]] |
Siste sideversjon per 2. jul. 2021 kl. 17:21
Et komplekst tall er i matematikk et tall på formen , der og er reelle tall, og er den imaginære enheten med egenskapen .
Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C eller . Denne mengden inneholder de reelle tallene R (eller ) som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.
Et komplekst tall er definert ved en realdel og en imaginærdel . Hvis , sies tallet å være «rent imaginært».
Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen . Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange grener av matematikk. Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i C, kalles kompleks analyse.
Formelt blir komplekse tall definert basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for tallmengden.
Formell definisjon av komplekse tall
[rediger | rediger kilde]Formelt er et komplekst tall innført som et ordnet par av reelle tall , definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:
Mengden av komplekse tall utgjør en kropp.
Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives . Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall. Ordningsrelasjoner i lar seg imidlertid ikke generalisere til , slik at har mening bare for reelle verdier av og .
Den imaginære enheten er definert ved . Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at .
Grunnleggende definisjoner og egenskaper
[rediger | rediger kilde]Additiv og multiplikativ invers
[rediger | rediger kilde]Til ethvert komplekst tall eksisterer det en additiv invers , slik at . Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.
Til ethvert komplekst tall ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers , slik at :
Absoluttverdi
[rediger | rediger kilde]Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall er definert ved
For denne gjelder trekantulikheten:
Kompleks konjungert
[rediger | rediger kilde]Den kompleks konjungerte til et komplekst tall er definert ved
Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at
Geometrisk tolkning
[rediger | rediger kilde]Ethvert komplekst tall kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, kartesisk koordinatsystem, som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen.
Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren Caspar Wessel, men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter Carl Friedrich Gauss eller ganske enkelt det komplekse planet.
Siden den kompleks konjungerte til tallet er definert ved representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.
Rotasjonsvinkelen som vektoren danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de trigonometriske relasjonene
Polarform
[rediger | rediger kilde]For et gitt kompleks tall definerer absoluttverdien og argumentet et sett av polarkoordinater, og kan skrives på trigonometrisk form som
Alternativt kan man bruke en eksponential form
basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner,
Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at
Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet , tolkes som en forlenging med faktoren , samt en rotasjon med vinkelen .
For divisjon av to komplekse tall gjelder
Komplekse vektorrom
[rediger | rediger kilde]Et vektorrom er lukket under operasjonene
der er vektorer og en skalar. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar skalarene være komplekse tall.[1]
Rommet
[rediger | rediger kilde]Vektorrommet består av alle ordnede n-tupler av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen
der er komplekse tall.[2] Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved
som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i , er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i , men i tillegg holder også at
hvilket man kan vise direkte ved regning.[3] sammen med det tilordnede indreproduktet danner et indreproduktrom.
Se også
[rediger | rediger kilde]Referanser
[rediger | rediger kilde]Litteratur
[rediger | rediger kilde]- Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
- Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016.
- Larson, R. (2015). Elementary Linear Algebra (7 utg.). Brooks/Cole, Cengage learning. ISBN 978-1-133-11087-3.
- Lindstrøm, T.L. (2006). Kalkulus (norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016.
- Lindstrøm, T.L. (2018). Spaces: An Introduction to Real Analysis. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society. ISBN 978-1-470-44062-6.
- Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016.
Eksterne lenker
[rediger | rediger kilde]- (en) Eric W. Weisstein, Complex Number i MathWorld.