Komplekst tall

Et komplekst tall er tall på formen a + ib, der a og b er reelle tall og i er den imaginære enheten, med egenskapen i² = -1.

Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C eller $\mathbb {C}$. Denne mengden inneholder de reelle tallene R som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utviding av begrepet reelle tall.

Et komplekst tall z = a + ib er definert ved en realdel a = Re(z) og en imaginærdel b = Im(z). Dersom a = 0 sies tallet å være rent imaginært.

Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen x² = -1. Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange deler av matematisk analyse og i anvendt matematikk. Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i C, kalles kompleks analyse.

Matematikk bruker en mer formell innføring av komplekse tall, basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for komplekse tall.

Formell definisjon av komplekse tall

Formelt er et komplekst tall z innført som et ordnet par av reelle tall (a,b), definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

${\begin{alignedat}{2}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)(c,d)&=(ac-bd,ad+bc).\\\end{alignedat}}$

Mengden av komplekse tall utgjør en kropp.

Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives r = (r,0). Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall. Ordningsrelasjoner i R lar seg imidlertid ikke generalisere til C, slik at z₁ < z₂ har mening bare for reelle verdier av z₁ og z₂.

Den imaginære enheten i er definert ved i = (0,1), og fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at i² = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.

Grunnleggende definisjoner og egenskaper

Additiv og mulitplikativ invers

Til ethvert komplekst tall z = a + ib eksisterer det en additiv invers (-z) = (-a - ib) slik at z + (-z) = 0. Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.

Til ethvert komplekst tall z = a + ib ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers z^-1, slik at z z^-1 = 1:

$z^{-1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-i{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$

Absoluttverdi

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall z = a + ib er definert ved

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

For denne gjelder trekantulikheten:

$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\,$

Kompleks konjungert

Den kompleks konjungerte til et komplekst tall z = a + ib er definert ved

${\bar {z}}=a-bi.\,$

Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

$z{\bar {z}}=|z|^{2}$

Geometrisk tolkning av komplekse tall

Argand-diagram for det komplekse tallet z = (a,b) = a + ib.

Ethvert komplekst tall (a,b) = a + ib kan representeres ved et punkt i et kartesisk koordinatsystem, som vist i figuren til høyre. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den relle aksen og den imaginære aksen.

Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den dansk-norske matematikeren Caspar Wessel, men framstillingsmåten kalles idag et Argand-diagram, etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et gaussisk plan eller et komplekst plan.

Siden den kompleks konjungerte til tallet z = a + ib er definert ved z = a - ib representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.

Rotasjonsvinkelen $\phi$ som vektoren (a,b) danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de trigonometriske relasjonene

${\begin{alignedat}{2}a&=|z|\cos \phi \\b&=|z|\sin \phi .\\\end{alignedat}}$

Polarform

For et gitt kompleks tall z = a + ib definerer absoluttverdien |z| og argumentet φ et sett av polarkoordinater, og z kan skrives på trigonometrisk form som

$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )\,$

Alternativt kan en bruke en eksponential form

$z=|z|e^{i\phi },\,$

basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi .\,$

Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

$r_{1}e^{i\phi }\cdot r_{2}e^{i\theta }=r_{1}r_{2}e^{i(\phi +\theta )}$.

Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet re^iφ, tolkes som en forlenging med faktoren r, samt en rotasjon med vinkelen φ.

For divisjon av to komplekse tall gjelder

${\frac {r_{1}e^{i\phi }}{r_{2}e^{i\theta }}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi -\theta )}$.