Trójkąt

figura geometryczna z trzema bokami

Trójkątwielokąt o trzech bokach[1]. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Trójkąt
Ilustracja
Liczba boków

3

Liczba przekątnych

0

Symbol Schläfliego

{3} (trójkąt równoboczny)

Kąt wewnętrzny

60° (trójkąt równoboczny)

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta[1][2]. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami[1].

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°[1], zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Rodzaje

edytuj
 
A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty
∡CAB, ∡ABC, ∡ACB — kąty (inny sposób oznaczania)

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

     
równoboczny równoramienny różnoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

  • trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre[1];
  • trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty[1] (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej[3]; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
  • trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty[1].
     
ostrokątny prostokątny rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne pojęcia

edytuj

Wysokość trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok i który jest prostopadły do tej prostej[4][5]. Często wysokością nazywa się również długość tego odcinka. Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia) nazywa się spodkiem tej wysokości. Każdy trójkąt ma trzy wysokości[5]. Wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum[4][5].

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku[4][5]. Każdy trójkąt ma trzy środkowe[5], które przecinają się w jednym punkcie, nazywanym środkiem ciężkości (barycentrum, środkiem masy) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku[4][5].

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek[1]. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie[1].

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt[1].

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela – punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a – punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

       
wysokości i ortocentrum środkowe i barycentrum symetralne i okrąg opisany dwusieczne i okrąg wpisany
 
Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków   symetralnych boków   wysokości   (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto  

Pole powierzchni

edytuj
 

Przyjmując dla trójkąta   następujące oznaczenia:

  – długości boków;
  – wysokości opuszczone na boki odpowiednio  
  – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio  
  – pole powierzchni;
  – promień okręgu opisanego;
  – promień okręgu wpisanego;
  – połowa obwodu;  

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni[3]:

 
Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.
 
 
 
  (wzór Herona);
  (postać wyznacznikowa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

 
 

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta[3]

 
 
 

dostaniemy także następujące wzory:

  czyli
 
 

Środek geometryczny

edytuj
Zobacz więcej w artykule Środek masy, w sekcji Środek geometryczny.

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

 
 
 

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:

 

Nierówność trójkąta

edytuj
Osobny artykuł: Nierówność trójkąta.
 
Wizualizacja „działania” nierówności trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą     i   zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

 

i analogicznie

 
 

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą     i   istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

 

Geometrie nieeuklidesowe

edytuj

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli  

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. a b c d e f g h i j k l Encyklopedia szkolna, s. 287.
  2. trójkąt, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-29].
  3. a b c Encyklopedia szkolna, s. 288.
  4. a b c d I.N. Bronsztejn i inni, Nowoczesne kompendium matematyki, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2022, s. 142-143, ISBN 978-83-01-14148-6 (pol.).
  5. a b c d e f Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda, Matematyka 1: podręcznik do liceów i techników: zakres rozszerzony, Wydanie I, Warszawa: Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, 2019, s. 332-338, ISBN 978-83-7594-172-2 [dostęp 2024-02-04] (pol.).

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
  • Eric W. Weisstein, Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].