Funkcja wykładnicza

funkcja, w której argument to wykładnik potęgi o dodatniej podstawie

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna[1] – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:

  • w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci gdzie [2]. Liczba – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
  • w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższy wzorem przy dodatkowym warunku – wyklucza się przypadek kiedy ten wzór daje funkcję stałą[3][4][5].
Wykres przykładowej funkcji wykładniczej gdzie w kartezjańskim układzie współrzędnych

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista lub płaszczyzna zespolona W pierwszym wypadku:

Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi[7]. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych[8]. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych[9].

Własności

edytuj
  •  
  •  
  • Funkcja wykładnicza o podstawie   jest (przy argumencie dążącym do  ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
 
dowód jest w artykule: logarytm naturalny.
W szczególności dla   zachodzi:
 

Eksponens

edytuj
 
Wykres funkcji   zwanej eksponensem, w kartezjańskim układzie współrzędnych; liczba   to podstawa logarytmu naturalnego.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej  podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest   nazywane krótko eksponensem[10].

Cechą funkcji   jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

 

przy warunku początkowym

 

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

 

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:  

Dziedzina zespolona

edytuj
 
Wykres   na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

 

Jest to funkcja okresowa z okresem   i można ją zapisać jako:

 

gdzie   i   to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

dla wszystkich   i  

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

edytuj

Matematyka

edytuj

Fizyka

edytuj

Inne nauki

edytuj

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. funkcja eksponencjalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].
  2. a b Żakowski 1972 ↓, s. 80.
  3. a b c funkcja wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].
  4. a b c   Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
  5. Fichtenholz 1978 ↓, s. 87.
  6. krzywa wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].
  7. Eulera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].
  8. funkcje elementarne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].
  9.   Zastosowanie funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
  10. eksponens, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne