Teoria modeli

Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.

Powstanie i rozwój teorii modeli

Początki teorii modeli sięgają lat trzydziestych XX wieku (chociaż pewne rozważania o teoriomodelowym charakterze były przeprowadzane znacznie wcześniej), kiedy osiągnięto wiele ważnych wyników, które stworzyły fundament dla dalszego bujnego rozwoju tej dziedziny. Największe osiągnięcia tego okresu wiąże się zazwyczaj z nazwiskami Gödla i Tarskiego, którzy przez współczesnych są zaliczani do grona najwybitniejszych logików wszechczasów.

Alfred Tarski, polski logik i matematyk, jest powszechnie uważany za twórcę teorii modeli. W swojej słynnej pracy Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych z 1933 roku rozważał między innymi pojęcie zdania prawdziwego i jego różne możliwe definicje. Wykazał on w szczególności, że można podać definicję prawdy dla dowolnego języka skończonego rzędu, zaś dla języków nieskończonego rzędu już nie. Tarski zdefiniował pojęcie spełniania (funkcji zdaniowej przez ciąg elementów oraz zdania przez model), które jest kluczowe dla całej teorii modeli i w nieznacznie zmienionej formie używane do dzisiaj. Opracował też między innymi pewną metodę badania czy dany model stanowi elementarną podstrukturę innego (test Tarskiego-Vaughta). Badania Tarskiego nad związkami między syntaktyką i semantyką logiczną miały ogromny wpływ na ugruntowanie podstaw teorii modeli.

Austriak Kurt Gödel (sławny dzięki wybitnym dokonaniom w dziedzinie logiki, również niezwiązanym z teorią modeli) udowodnił w 1931 roku twierdzenie o istnieniu modelu, które głosi, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model. Natychmiastowym wnioskiem z tego twierdzenia jest inne, znane jako twierdzenie o pełności klasycznego rachunku logicznego. Orzeka ono, że teoria T dowodzi zdania X (tzn. istnieje dowód zdania X oparty na zdaniach należących do teorii T oraz aksjomatach i regułach dowodzenia klasycznego rachunku logicznego) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy model teorii T spełnia zdanie X. Prowadzi to do ważnego wniosku, że pojęcia konsekwencji syntaktycznej i semantycznej są równoważne i można ich używać wymiennie, w zależności od tego, które się łatwiej daje zastosować w danym przypadku.

Ważnym etapem w rozwoju teorii modeli były lata sześćdziesiąte XX wieku, kiedy wyraźnie wyodrębniła się ona jako jeden z kilku działów logiki matematycznej. Matematycy i logicy uzyskali wtedy wiele istotnych rezultatów, znacznie rozbudowując przy okazji aparat pojęciowy teorii modeli i wyznaczając dla tej dziedziny zupełnie nowe kierunki rozwoju. Poniżej wymieniamy tylko niektóre ważniejsze wydarzenia z tego okresu.

W roku 1960 Jerzy Łoś udowodnił fundamentalne twierdzenie o ultraprodukcie, zaś badanie ultraproduktów stało się ważnym fragmentem teorii modeli. Ten sam matematyk sformułował hipotezę dotyczącą kategoryczności teorii zupełnej w mocach nieprzeliczalnych.

W roku 1961 Robert Vaught wykazał, że nie istnieje teoria zupełna, która ma dokładnie dwa modele przeliczalne (z dokładnością do izomorfizmu). Następnie wysunął inną hipotezę, bezpośrednio związaną z jego ówczesnymi rozważaniami - nierozstrzygniętą do dzisiaj tak zwaną hipotezę Vaughta. Głosi ona, że jeśli teoria zupełna ma nieprzeliczalnie wiele modeli przeliczalnych, to ma ich continuum. Prace nad hipotezą Vaughta przyniosły tylko częściowe wyniki, ale za to ogromnie wzbogaciły zasób pojęć używanych przez teoriomodelowców.

W roku 1963 Paul Cohen podał dowód niezależności pewnych zdań od powszechnie przyjętych aksjomatów teorii mnogości ZF. Niezależne okazały się w szczególności tak znane zdania, jak aksjomat wyboru czy hipoteza continuum. Cohen zastosował nowatorską metodę zwaną forcingiem (czyli wymuszaniem). Metoda ta była później wielokrotnie z powodzeniem używana do wykazywania niezależności różnych zdań od aksjomatów teorii mnogości.

Wreszcie w roku 1964 Michael Morley rozstrzygnął pozytywnie wzmiankowaną wcześniej hipotezę Łosia. Udowodnił on bowiem, że jeśli teoria zupełna w języku przeliczalnym jest kategoryczna w pewnej mocy nieprzeliczalnej, to jest kategoryczna we wszystkich mocach nieprzeliczalnych.

Ze względu na dokonania Morley'a i pewne nowe metody zastosowane przez niego (między innymi w dowodzie wyżej wspomnianego twierdzenia dotyczącego kategoryczności teorii, które ktoś nazwał pierwszym głębokim twierdzeniem teorii modeli) rok 1964 jest przez niektórych uznawany za symboliczna datę wyodrębnienia się teorii modeli z logiki jako samodzielnej dziedziny.

W latach siedemdziesiątych XX wieku szczególnie duże zasługi dla rozwoju teorii modeli położył izraelski matematyk Saharon Shelah. Próbował on klasyfikować teorie ze względu na liczbę oraz stopień komplikacji ich modeli. Rozważał pewne kombinatoryczne własności modeli, dzięki użyciu których mógł dokonać podziału teorii na łatwo dające się opisać klasy. Szczególnie interesowały go te teorie, które mają stosunkowo mało modeli w każdej mocy - uważał je za prostsze od innych i lepiej nadające się do klasyfikowania. Shelah stworzył hierarchię stabilności, która zawiera kolejne klasy coraz bardziej niestabilnych teorii (teorie z ostatniej klasy noszą właśnie nazwę niestabilnych). Metoda, którą Shelah specjalnie wymyślił i stosował w swoich badaniach, to forking (czyli rozwidlanie) i jest dziś jednym z podstawowych narzędzi używanych w teoriomodelowych rozważaniach.

W tym samym czasie co Shelah teorię modeli rozwijało wielu innych matematyków. W swoich ówczesnych badaniach próbowali oni odpowiedzieć na pytanie, jak różne pojęcia logiczne wyglądają w konkretnych strukturach algebraicznych (czyli na przykład w grupach, pierścieniach, ciałach czy modułach). Zresztą teoria modeli od początku swego istnienia była rozwijana z zamiarem zastosowania jej metod w algebrze, zaś struktury algebraiczne są najbardziej naturalnymi przykładami modeli. Z biegiem lat specjaliści z teorii modeli obejmowali swym zainteresowaniem coraz szersze obszary matematyki. Od lat osiemdziesiątych XX wieku teorię modeli z powodzeniem stosuje się na przykład w geometrii algebraicznej. Podsumowując, jest to dynamicznie rozwijający się dział logiki, w którym wciąż można spodziewać się ważnych i ciekawych wyników.