Wielokąt foremny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
→Zobacz też: kat. |
k przy wzorze na dlugosc przekatncyh ostra nierownosc z lewej strony i z prawej n - 3 Znaczniki: Wycofane VisualEditor |
||
Linia 49: | Linia 49: | ||
: <math>d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},</math> |
: <math>d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},</math> |
||
: gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1 |
: gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1 < k\leqslant n-2.</math> |
||
* Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka) |
* Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka) |
Wersja z 03:10, 1 gru 2022
Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.
Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.
Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Wzory
Przyjęte oznaczenia:
- – liczba boków wielokąta foremnego,
- – długość jednego boku wielokąta.
- Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
- Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
- Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:
- Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:
- Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
- Wzór na obwód wielokąta foremnego:
- Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:
- Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:
- gdzie
- Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
Tabela wielokątów foremnych
Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.
Nazwa | Ilustracja | Liczba boków | Miara kąta wewnętrznego | Konstruowalny cyrklem i linijką? |
---|---|---|---|---|
Trójkąt równoboczny | 3 | tak | ||
Kwadrat | 4 | tak | ||
Pięciokąt foremny | 5 | tak | ||
Sześciokąt foremny | 6 | tak | ||
Siedmiokąt foremny | 7 | nie | ||
Ośmiokąt foremny | 8 | tak | ||
Dziewięciokąt foremny | 9 | nie | ||
Dziesięciokąt foremny | 10 | tak |