Conjetura de Goldbach: diferenças entre revisões

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A conjetura de Goldbach, proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, é um dos problemas mais antigos não resolvidos da matemática, mais precisamente da teoria dos números.

Ela diz que todo número par maior que 2 pode ser representado pela soma de dois números primos.

Por exemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; etc.

Verificações por computador já confirmaram a conjetura de Goldbach para muitos números. No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.

O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995: todo número par é a soma de no máximo 6 números primos.

Origem

Em 7 de junho de 1742, o matemático prussiano Christian Goldbach escreveu uma carta a Leonhard Euler (carta XLIII) [2], onde ele propôs a seguinte conjetura:

Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 3 números primos.
— Goldbach em carta a Euler

Ele considerava o número 1 como sendo primo, que uma convenção posterior (e presente até hoje) abandonou. Uma visão moderna da conjetura é:

Todo inteiro par maior que 5 pode ser escrito como a soma de 3 números primos.

Euler respondeu em uma carta de 30 de junho de 1742 e lembrou Goldbach de uma conversa anterior que eles tiveram ("…so Ew vormals mit mir communicirt haben…"), na qual Goldbach observou que sua conjectura seguia da seguinte declaração

Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 2 números primos.
— Euler lembrando numa carta as palavras de Goldbach

sendo esta, então, também uma conjectura de Goldbach. Euler adicionou, ainda, que estava absolutamente certo sobre essa última conjectura, mas que não era capaz de prová-la.

A última versão aqui descrita é a mais conhecida e divulgada atualmente, também a mais aceita, por ser mais simples e abrangente.

Também é conhecida como a conjetura "forte" de Goldbach, distinta de seu corolário mais fraco. A conjectura forte de Goldbach implica a conjetura que todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primos, que é conhecida atualmente como a conjetura "fraca" de Goldbach. Enquanto a conjetura fraca de Goldbach parece ter sido provada em 2013,^[1]^[2] a conjetura mais forte permanece sem solução.

Resultados numéricos

Para valores pequenos de n, a conjetura de Goldbach pode ser testada diretamente (método conhecido jocosamente pelos matemáticos como força bruta e ignorância^[3]).

Em 1938, N. Pipping testou todos os números até 10⁵.

Tomás Oliveira e Silva já testou todos os números até 4*10¹⁷ ^[4]

Ver também

Conjectura fraca de Goldbach

Referências

↑ Helfgott, H.A. (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem». arXiv:1305.2897 [math.NT]
↑ Helfgott, H.A. (2012). «Minor arcs for Goldbach's problem». arXiv:1205.5252 [math.NT]
↑ Jeffrey Stopple, Exercises on binary quadratic forms [1]
↑ Goldbach conjecture verification, acesso em 06/12/2014

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[Helfgott_2013-1] Helfgott, H.A. (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem». arXiv:1305.2897 [math.NT]

[Helfgott_2012-2] Helfgott, H.A. (2012). «Minor arcs for Goldbach's problem». arXiv:1205.5252 [math.NT]

[3] Jeffrey Stopple, Exercises on binary quadratic forms [1]

[4] Goldbach conjecture verification, acesso em 06/12/2014

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-[[Ficheiro:Goldbach.jpg|thumb|250px|Ilustração da conjetura de Goldbach.]]
+[[Imagem:Goldbach.svg|thumb|250px|Ilustração da conjetura de Goldbach.]]
 A '''conjetura de [[Christian Goldbach|Goldbach]]''', proposta pelo [[matemático]] [[Prússia|prussiano]] [[Christian Goldbach]], é um dos problemas mais antigos não resolvidos da [[matemática]], mais precisamente da [[teoria dos números]].
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 Ela diz que todo [[número par]] maior que 2 pode ser representado pela soma de dois números [[número primo|primos]].
 Por exemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; etc.
-Verificações por computador já confirmaram a conjetura de Goldbach para vários números. No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.
+Verificações por computador já confirmaram a conjetura de Goldbach para muitos números. No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.
 O melhor resultado até agora foi dado por [[Olivier Ramaré]] em [[1995]]: ''todo número par é a soma de no máximo 6 números primos''.
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 Em [[7 de junho]] de [[1742]], o [[matemático]] [[Prússia|prussiano]] [[Christian Goldbach]] escreveu uma carta a [[Leonhard Euler]]
 (carta XLIII) [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf], onde ele propôs a seguinte [[conjetura]]:
-[[File:Letter Goldbach-Euler.jpg|thumb|left|308x308px|Carta de 7 de junho de 1742.]]
+[[Imagem:Letter Goldbach-Euler.jpg|thumb|left|308x308px|Carta de 7 de junho de 1742.]]
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 :''Todo inteiro par maior que 5 pode ser escrito como a soma de 3 números primos''.
+Euler respondeu em uma carta de 30 de junho de 1742 e lembrou Goldbach de uma conversa anterior que eles tiveram ("…so Ew vormals mit mir communicirt haben…"), na qual Goldbach observou que sua conjectura seguia da seguinte declaração
-Euler, interessando-se pelo problema, respondeu que a conjetura era equivalente a outra:
-{{quote| ''Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 2 números primos.'' | [[Leonhard Euler|Euler]] respondendo a [[Christian Goldbach|Goldbach]] }}
+{{quote| ''Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 2 números primos.'' | [[Leonhard Euler|Euler]] lembrando numa carta as palavras de [[Christian Goldbach|Goldbach]]}}
-Euler adicionou, ainda, que estava absolutamente certo sobre isso, porém não era capaz de prová-lo.
+sendo esta, então, também uma conjectura de Goldbach. Euler adicionou, ainda, que estava absolutamente certo sobre essa última conjectura, mas que não era capaz de prová-la.
-A versão de Euler é a mais conhecida e divulgada atualmente, também a mais aceita, por ser mais simples e abrangente.
+A última versão aqui descrita é a mais conhecida e divulgada atualmente, também a mais aceita, por ser mais simples e abrangente.
-Também é conhecida como a conjetura "forte" de Goldbach, distinta de seu corolário mais fraco. A conjetura forte de Goldbach implica a conjetura que '''todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primos ímpares''', que é conhecida atualmente como a conjetura "fraca" de Goldbach. Enquanto a conjetura fraca de Goldbach parece ter sido provada em 2013,<ref name="Helfgott 2013">{{cite arXiv |eprint=1305.2897 |title = Major arcs for Goldbach's theorem|last = Helfgott|first = H.A. |class=math.NT |year=2013}}</ref><ref name="Helfgott 2012">{{cite arXiv |eprint=1205.5252 |title = Minor arcs for Goldbach's problem |last = Helfgott|first = H.A.|class=math.NT |year=2012}}</ref> a conjetura mais forte permanece sem solução.
+Também é conhecida como a conjetura "forte" de Goldbach, distinta de seu [[corolário]] mais fraco. A conjectura forte de Goldbach implica a conjetura que '''todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primos,''' que é conhecida atualmente como a conjetura "fraca" de Goldbach. Enquanto a conjetura fraca de Goldbach parece ter sido provada em 2013,<ref name="Helfgott 2013">{{citar arXiv|eprint=1305.2897 |título= Major arcs for Goldbach's theorem|último = Helfgott|primeiro = H.A. |class=math.NT |ano=2013}}</ref><ref name="Helfgott 2012">{{citar arXiv|eprint=1205.5252 |título= Minor arcs for Goldbach's problem |último = Helfgott|primeiro = H.A.|class=math.NT |ano=2012}}</ref> a conjetura mais forte permanece sem solução.
 == Resultados numéricos ==

v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Duplo de Mersenne $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Fatorial ( $n! \pm 1$ ) Euclides ( $p n # + 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Por propriedade	Wall–Sun–Sun Pillai
Dependentes de base	Palíndromo Omirp Circular Estrobogramático
Padrões	Gêmeos ( $p, p + 2$ ) Chen Equilibrado ( $consecutivos p - n, p, p + n$ )
Por dimensão	Maior conhecido
Números compostos	Pseudoprimo Número de Carmichael Quase-primo Semiprimo Número esfênico Interprimo Pernicioso
Tópicos relacionados	Ilegal Intervalo entre primos
Lista de números primos