Divisibilidade: diferenças entre revisões
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Em [[aritmética]] e [[teoria dos números]], diz-se que um [[número inteiro]] não nulo ''a'' divide um inteiro ''b'' se existe um inteiro ''c'', tal que: b=a*c. Se ''a'' divide ''b'', ''b'' é chamado [[múltiplo]] de ''a'' e ''a'' é chamado [[divisor]] de ''b''. Se ''a'' divide ''b'' usamos o simbolo: a|b |
Em [[aritmética]] e [[teoria dos números]], diz-se que um [[número inteiro]] não nulo ''a'' divide um inteiro ''b'' se existe um inteiro ''c'', tal que: b=a*c. Se ''a'' divide ''b'', ''b'' é chamado [[múltiplo]] de ''a'' e ''a'' é chamado [[divisor]] de ''b''. Se ''a'' divide ''b'' usamos o simbolo: a|b |
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Formalmente escreve-se que: ''b'' é divisor de ''a'' <math>\Leftrightarrow \exists_{c \in \mathbb{Z}} : a=b c</math> |
Formalmente escreve-se que: ''b'' é divisor de ''a'' <math>\Leftrightarrow \exists_{c \in \mathbb{Z}} : a=b c</math> |
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==Propriedades da Divisibilidade== |
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13) Se ''a''|''b'', então ''(b/a)''|''b''. |
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==Algoritmo da Divisão== |
== Algoritmo da Divisão == |
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''Teorema:'' Dados dois números inteiros ''a'' e ''b'', b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que: |
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25/3 tem quociente 8 e resto 1 -> 25 =3*8 + 1 |
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Revisão das 21h41min de 24 de dezembro de 2009
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Dezembro de 2009) |
Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo a divide um inteiro b se existe um inteiro c, tal que: b=a*c. Se a divide b, b é chamado múltiplo de a e a é chamado divisor de b. Se a divide b usamos o simbolo: a|b
Formalmente escreve-se que: b é divisor de a
Propriedades da Divisibilidade
1) Se a é um inteiro diferente de 0, temos que: a divide 0;
2) Se a é um inteiro, temos que: 1|a;
3) Se a é um inteiro, temos que: a|a;
4) Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;
5) Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
6) Se a|b e b|c, temos que: a|c;
7) Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
8) Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
9) Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
10) Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
11) Se ab|ac então: b|c;
12) Se b|c, então: ab|ac;
13) Se a|b, então (b/a)|b.
Algoritmo da Divisão
Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:
a = qb + r
Demonstração
Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxius, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,
qb ≤ a < (q + 1)b
segue deste teorema que
0 ≤ a - qb < b
definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista r1 e q1 que satisfaça a = q1b + r1, temos
(qb + r) - (q1b + r1) = 0
(q - q1)b = (r1 - r)
então
b | (r1 - r) (b divide (r1 - r))
Como r1 < b e r < b, segue que |r1 - r| < b, concluímos que
r1 - r = 0 ⇒ r1 = r
e
(q - q1)b = 0
qb = q1b ⇒ q = q1
Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.
Exemplos
34/7 tem quociente 4 e resto 6 -> 34 = 4*7 + 6
25/3 tem quociente 8 e resto 1 -> 25 =3*8 + 1