Divisibilidade

Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo a divide um inteiro b se existe um inteiro c, tal que: b=a*c. Se a divide b, b é chamado múltiplo de a e a é chamado divisor de b. Se a divide b usamos o simbolo: a|b

Formalmente escreve-se que: b é divisor de a $\Leftrightarrow \exists _{c\in \mathbb {Z} }:a=bc$

Propriedades da Divisibilidade

1) Se a é um inteiro diferente de 0, temos que: a divide 0;

2) Se a é um inteiro, temos que: 1|a;

3) Se a é um inteiro, temos que: a|a;

4) Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;

5) Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;

6) Se a|b e b|c, temos que: a|c;

7) Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;

8) Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;

9) Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;

10) Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;

11) Se ab|ac então: b|c;

12) Se b|c, então: ab|ac;

13) Se a|b, então (b/a)|b.

Algoritmo da Divisão

Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = qb + r

Demonstração

Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxius, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,

qb ≤ a < (q + 1)b

segue deste teorema que

0 ≤ a - qb < b

definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista r1 e q1 que satisfaça a = q1b + r1, temos

(qb + r) - (q1b + r1) = 0

(q - q1)b = (r1 - r)

então

b | (r1 - r) (b divide (r1 - r))

Como r1 < b e r < b, segue que |r1 - r| < b, concluímos que

r1 - r = 0 ⇒ r1 = r

e

(q - q1)b = 0

qb = q1b ⇒ q = q1

Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.

Exemplos

34/7 tem quociente 4 e resto 6 -> 34 = 4*7 + 6

25/3 tem quociente 8 e resto 1 -> 25 =3*8 + 1

Ver também

• Máximo divisor comum
• Mínimo múltiplo comum
• Número primo
• Critérios de divisibilidade
• Divisor
• Algoritmo de Euclides
• Indução matemática