Equação do quarto grau: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], uma '''equação quadrática''' é o resultado do desenvolvimento duma [[função biquadrática]] igualada a zero. Um exemplo, |
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[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]] |
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Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' ou '''equação quártica''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:<math display="block">ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,</math>em que os coeficientes <math>a \neq 0</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> e <math>e</math> são elementos de um [[Corpo (matemática)|corpo]], geralmente o dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]]. |
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== Exemplos == |
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:<math>2x^4+4x^3-26x^2-28x+48=0\,</math> |
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<math display="block">x^4+2x^3-13x^2-14x+24=0</math><math display="block">x^4-1=0</math><math display="block">x^4-5x^2+6=0</math> |
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== Existência de soluções == |
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A forma geral duma equação biquadrática é: |
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== Formas especiais == |
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:<math>a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0\,</math>, com <math>a_0\ne0.</math> |
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=== Equação biquadrática === |
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{{Artigo principal|[[Equação biquadrada]]}} |
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Uma '''equação biquadrática''' é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:<math display="block"> px^4+qx^2 + r=0.</math>Como <math>p \ne 0</math>, esta equação pode ser reduzida a uma [[equação do segundo grau]] através da mudança de variáveis <math>y = x^2</math>, de modo que<math display="block"> py^2+qy + r=0.</math>Os valores de <math>y</math> que satisfazem esta equação são dados pela [[Fórmula de Bhaskara|fórmula]]: <math> y = \frac{-q \pm \sqrt{q^2-4pr}}{2p}.</math> |
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Logo, <math> x = \pm \sqrt{\frac{-q + \sqrt{q^2-4pr}}{2p}} </math> e <math>x = \pm \sqrt{\frac{-q - \sqrt{q^2-4pr}}{2p}}</math>. |
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=== Produtos Notáveis === |
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Suporemos sempre que α<sub>4</sub> é diferente de zero, pois caso contrário seria uma equação de grau menor que quatro. |
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Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida <math> \left ( x^4+ax^2+bx+c=0 \right ) , </math> apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em <math> x=-\dfrac{b}{4a} .</math> |
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*'''Exemplo:''' <math>x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0</math> quando reduzido fica na forma <math>z^4=0 , </math> logo <math>x=-\dfrac{b}{4a}</math> ou <math> x=1 .</math> |
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Formula de Wilson x⁴=y² |
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Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:<math display="block">x^4+px^2+q=rx</math>Nota-se que a equação geral <math>az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0</math> pode ser reduzida a este caso através da transformação <math>z=x-\frac{b}{4a},</math> e dividindo a equação resultante por <math>a</math>. |
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Ao dividirmos a equação por <math>a</math>, a equação terá a forma <math>z^4+Az^3+Bz^2+Cz+D=0</math>, onde <math>A=\frac{b}{a}</math>, <math>B=\frac{c}{a}</math>, <math>C=\frac{d}{a}</math> e <math>D=\frac{e}{a}</math><ref name=":0">{{citar web|url=https://www.blogcyberini.com/2018/06/algoritmo-equacao-quarto-grau.html|titulo=Algoritmo da Equação do Quarto Grau|data=9 de junho 2018|acessodata=4 de julho de 2018|publicado=Blog Cyberini|ultimo=Felipe|primeiro=Henrique}}</ref>. Ao realizar a substituição <math>z=x-\frac{B}{4}</math> a equação assumirá a forma reduzida <math>x^4+px^2+q=rx</math>, onde<ref name=":0" /> |
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Resolver a equação quártica significa encontrar as suas raízes. |
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<math>p=B-\frac{3}{8}A^2</math> |
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<math>r=-\frac{1}{8}A^3+\frac{1}{2}AB-C</math> |
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<math>q=-\frac{3}{256}A^4+\frac{1}{16}A^2B-\frac{1}{4}AC+D</math> |
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Começamos por dividir a equação por α<sub>4</sub> para chegarmos a uma equação da forma |
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:<math>x^4 + ax^3 + bx^2 +cx + d = 0. \qquad (1) </math> |
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A substituição ''x'' = ''t'' - ''a''/4 elimina o termo cúbico e em consequência de tal obtemos a equação |
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:<math> t^4 + pt^2 + qt + r = 0, \qquad (2)</math> |
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onde |
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:<math> p = -\frac{3a^2}{8} + b,\quad q = \frac{a^3}{8} - \frac{ab}{2} + c \quad\mbox{e}\quad r = -\frac{3a^4}{256} + \frac{ba^2}{16} - \frac{ac}{4} + d. \qquad </math> |
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Esta é chamada a quártica reduzida. |
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A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual <math>(x^2 + A)^2 - (B x + C)^2=0 ,</math> cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de [[equação do segundo grau|equações do segundo grau]]. |
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No primeiro passo, o primeiro membro da equação, <math>x^4 + p x^2 + q,</math> é transformado no quadrado baseado em <math>x^4 + q,</math> ou seja, <math>x^4 + 2 \sqrt{q} x^2 + q:</math><math display="block">x^4 + q = r x - p x^2</math><math display="block">x^4 + 2 \sqrt{q} x^2 + q = (2 \sqrt{q} - p) x^2 + r x</math><math display="block">(x^2+ \sqrt q)^2 = rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2 </math>Em seguida, somam-se termos em uma nova variável <math>y,</math> porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar <math>y^2,</math> devemos somar também <math>2y \cdot (x^2 + \sqrt q) ,</math> ou seja:<math display="block">(x^2+ \sqrt q)^2 + 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) + y^2 =rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2 + 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) + y^2</math>Reescrevendo:<math display="block"> (x^2+ \sqrt q + y)^2 = (2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2</math>O segundo membro da equação pode ser reescrito como <math> (2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(x-x_{+})\cdot(x-x_{-}) ,</math> onde <math>x_+</math> e <math>x_-</math> são soluções da equação quadrática |
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Afim de resolvermos a equação (2), reescrevemo-la da seguinte forma |
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:<math> t^4 + pt^2 = -qt -r, \quad</math> |
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e completamos o quadrado |
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:<math> t^4 + 2pt^2 + p^2 = -qt -r + pt^2 + p^2, \quad</math> |
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i.e. |
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:<math> (t^2 + p)^2 = pt^2 -qt -r + p^2. \qquad (3)</math> |
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<math>(2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2 = 0,</math> ou seja, <math>x=\dfrac{-r\pm\sqrt{r^2-4\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(2y \sqrt q + y^2)}}{2\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)}</math> |
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Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que <math> (2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(x-x_{+})\cdot(x-x_{-}) </math> seja um quadrado, então escreveremos que <math> x_+ = x_- ,</math> que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula. |
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E agora o truque: para todo o ''y'' a equação (3) é equivalente à seguinte |
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:<math>(t^2 + p + y)^2 = pt^2 -qt -r + p^2 + 2y(t^2 + p) + y^2 = (p + 2y)t^2 -qt + (p^2 - r +2py + y^2).\quad</math> |
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Mas o segundo membro é quadrático em ''t'' e podemos escolher ''y'' por forma a que seja um quadrado perfeito, basta para tal fazer o discriminante (do polinómio em ''t'') igual a zero, o que impõe a seguinte condição à variável ''y'' |
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:<math> (-q)^2 -4(p + 2y)(p^2 -r + 2py + y^2) = 0. \qquad</math> |
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Reescrevendo-a obtemos |
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:<math> (q^2 -4p^3 + 4pr) + (-16p^2 + 8r)y -20py^2 + 8y^3 = 0,\qquad</math> |
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a qual é uma [[equação cúbica]] em ''y'', pelo que a resolução de uma equação quártica reduz-se à resolução de uma equação cúbica conveniente. |
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Em outras palavras, isto requer:<math display="block"> r^2-4\cdot(2\sqrt q - p + 2y )\cdot(2y\sqrt q + y^2)=0</math>que, expandido, gera a [[equação do terceiro grau]] auxiliar:<math display="block"> 8y^3+ (24\sqrt q - 4 p)y^2 + (16 q - 8p\sqrt q)y -r^2=0,</math>onde apenas uma raiz <math> y_1 </math> é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando <math>r\ne 0</math>, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva<ref name=":0" />. |
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Retomando o cálculo da incógnita <math>x ,</math> temos que <math>x_+=x_-=-\dfrac{r}{2\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)}</math> |
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Com isso a equação <math>(x^2+ \sqrt q + y)^2 = \left (2 \sqrt q - p + 2y \right ) \cdot\left (x+\dfrac{r}{2\cdot\left (2 \sqrt q - p + 2y \right )} \right )^2 ,</math> pode ser reescrita como <math>(x^2+ \sqrt q + y)^2 - \left (\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y} \right )^2 \cdot\left (x+\dfrac{r}{2\cdot\left (2 \sqrt q - p + 2y \right )} \right )^2 = 0,</math> ou <math>(x^2+\sqrt q + y)^2-\left (x\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}+\dfrac{r}{\sqrt{8 \sqrt q - 4p + 8y}} \right )^2 = 0</math> |
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[[de:Biquadratische Gleichung]] |
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[[en:Quartic equation]] |
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que resulta em uma diferença de dois quadrados: |
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[[es:Ecuación de cuarto grado]] |
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[[it:Equazione di quarto grado]] |
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<math>x^2+\sqrt q + y \pm \left (x\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}+\dfrac{r}{\sqrt{8 \sqrt q - 4p + 8y}} \right )=0</math> |
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[[ja:四次方程式]] |
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[[zh:四次方程]] |
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Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de [[Equação quadrática|equações de segundo grau]] nas equações seguintes: |
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<math>x^2+x\sqrt{2\sqrt q -p+2y}+\sqrt{q}+y+\dfrac{r}{\sqrt{8\sqrt q -4p+8y}}=0</math> |
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<math>x^2-x\sqrt{2\sqrt q -p+2y}+\sqrt{q}+y-\dfrac{r}{\sqrt{8\sqrt q -4p+8y}}=0</math> |
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<!-- TODO: incluir um exemplo numérico !--> |
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== Ver também == |
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* [[Equação polinomial]] |
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{{Referências}} |
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== Ligações externas == |
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* [https://www.blogcyberini.com/p/calculadora-de-equacoes-do-quarto-grau.html Calculadora de equações do quarto grau] |
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[[Categoria:Matemática]] |
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[[Categoria:Álgebra]] |
Edição atual tal como às 13h51min de 29 de dezembro de 2020
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Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:em que os coeficientes , , , e são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.
Exemplos
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Existência de soluções
[editar | editar código-fonte]O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.
Formas especiais
[editar | editar código-fonte]Equação biquadrática
[editar | editar código-fonte]Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:Como , esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis , de modo queOs valores de que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: Logo, e .
Produtos Notáveis
[editar | editar código-fonte]Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em
- Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou
Formula de Wilson x⁴=y²
O método de Ferrari
[editar | editar código-fonte]As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:Nota-se que a equação geral pode ser reduzida a este caso através da transformação e dividindo a equação resultante por .
Ao dividirmos a equação por , a equação terá a forma , onde , , e [1]. Ao realizar a substituição a equação assumirá a forma reduzida , onde[1]
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja, Em seguida, somam-se termos em uma nova variável porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar devemos somar também ou seja:Reescrevendo:O segundo membro da equação pode ser reescrito como onde e são soluções da equação quadrática
ou seja,
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.
Em outras palavras, isto requer:que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:onde apenas uma raiz é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando , a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva[1].
Retomando o cálculo da incógnita temos que
Com isso a equação pode ser reescrita como ou
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:
Ver também
[editar | editar código-fonte]- ↑ a b c Felipe, Henrique (9 de junho 2018). «Algoritmo da Equação do Quarto Grau». Blog Cyberini. Consultado em 4 de julho de 2018