Equação do quarto grau: diferenças entre revisões
Desfeita a edição 57203633 de Rodrigo José Martinelli Biglia Andrade: Possível divulgação e conflito de interesses? |
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== O polinômio de Martinelli == |
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O polinômio foi desenvolvido para solucionar casos específicos de equações do quinto grau mas pode ser usado também para resolver equações do quarto grau. O polinômio de Martinelli<ref name=":1">{{citar periódico|ultimo=ANDRADE|primeiro=RODRIGO|data=03/12/2019|titulo=Resolução de uma equação de quinto grau|url=https://www.fc.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/revistacqd2228/v16a12-resolucao-de-uma-equacao-do-quinto-grau.pdf|jornal=Revista Eletrônica Paulista de Matemática (C.Q.D)|acessodata=15/01/2020}}</ref> ou Igualdade de Martinelli é uma equação polinomial de décimo grau onde uma de suas raízes pode ser usada para separar uma equação de quinto grau em duas de grau menores. |
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Para solucionar uma equação de quarto grau com o polinômio de Martinelli é preciso transformar o polinômio de quarto grau em um de quinto grau. Exemplo: |
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<math>x^4 + 7 x^3 + 39 x^2 + 67 x + 78=0</math> . |
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Com isso podemos criar uma equação de quinto grau multiplicando por algum binômio que tenha, de preferência, um número racional. |
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Podemos fazer <math>(x+1)(x^4 + 7 x^3 + 39 x^2 + 67 x + 78)=0</math> que resulta na equação <math>x^5 + 8 x^4 + 46 x^3 + 106 x^2 + 145 x + 78 = 0</math>. |
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Após utilizar a transformação de Martinelli<ref name=":1" /> obtemos a seguinte equação: <math>t^5+510t^3-4110t^2+37985t-90978=0</math> e uma de suas raízes é 3 positivo, pois considerando a fração <math>x = \frac {-b+t}{5a}</math> podemos concluir que <math>-1 = \frac {-8+t}{5(1)}</math> , logo uma de suas raízes é 3. |
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Feito esses passos podemos substituir os coeficientes da equação transformada no polinômio de Martinelli: |
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<math display="block">((k^4+510k^2-4110k+37985)(5k^3+510k+4110)^2)-((13k^5+3060k^3+20550k^2+184130k+2005122)(2k^5+1020k^3-8220k^2+75970k+90978))=0</math> |
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Assim, expandindo a igualdade acima, teremos o seguinte polinômio de Martinelli: |
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<math display="block">k^{10}+1530k^8-4110k^7+666345k^6-3191442k^5+77014200k^4-258942480k^3-1889076340k^2+79266711480k-459224429184 = 0</math> |
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Onde haverão 10(dez) raízes e uma dessas raízes pode ser usada para separar a equação de quinto grau em duas de grau menores como uma de segundo e uma de terceiro. |
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Se 3 é uma das raízes da equação transformada e as raízes do polinômio de Martinelli são a soma de duas raízes da equação transformada podemos simplificar o polinômio de Martinelli dividindo o mesmo pela equação transformada após fazer uma mudança de variável inserindo 3 positivo na variável da equação transformada: |
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<math>(t-3)^5+510(t-3)^3-4110(t-3)^2+37985(t-3)-90978=0</math> |
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segue que: |
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<math>t^5-15t^4+600t^3-8970t^2+76820t-255936=0</math> |
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Assim, verificaremos que existem raízes em t que são correspondentes as raízes k do polinômio de Martinelli. Nesse caso 6 é uma das raízes do polinômio de Martinelli. |
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Feito isso podemos separar a equação de quinto grau em duas de grau menor. Para isso devemos considerar o seguinte: |
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<math>(y^2-ky+n)(y^3+ky^2+ly+m) = 0</math> sendo <math>n = \frac {2(k^5+Ck^3+Dk^2+Ek)-F}{5k^3+Ck-D}</math> |
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<math>l = k^2-n+C</math> e <math>m = \frac F{n}</math> . As letras C, D, E e F são os coeficientes da equação transformada. Como sabemos que uma das raízes do polinômio de Martinelli dado é 6 então k é 6, C = 510, D = -4110, E = 37985 e F = -90978. Com esses dados podemos substituir em k, n, l e m e assim obter uma equação de segundo grau e uma de terceiro grau ambas resolvíveis. |
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No exemplo temos que n = 59, l = 487 e m = -1542. Assim nossa equação fica sendo: <math>(y^2-6y+59)(y^3+6y^2+487y-1542) = 0</math> que é exatamente a equação transformada se expandirmos essa fatoração. Após resolver cada equação é preciso usar <math>x = \frac {-b+t}{5a}</math> e assim descobrir as raízes da equação original. |
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== Ver também == |
== Ver também == |
Edição atual tal como às 13h51min de 29 de dezembro de 2020
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Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:
Exemplos[editar | editar código-fonte]
Existência de soluções[editar | editar código-fonte]
O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.
Formas especiais[editar | editar código-fonte]
Equação biquadrática[editar | editar código-fonte]
Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:
Produtos Notáveis[editar | editar código-fonte]
Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em
- Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou
Formula de Wilson x⁴=y²
O método de Ferrari[editar | editar código-fonte]
As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:
Ao dividirmos a equação por , a equação terá a forma , onde , , e [1]. Ao realizar a substituição a equação assumirá a forma reduzida , onde[1]
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja,
ou seja,
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.
Em outras palavras, isto requer:
Retomando o cálculo da incógnita temos que
Com isso a equação pode ser reescrita como ou
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:
Ver também[editar | editar código-fonte]
- ↑ a b c Felipe, Henrique (9 de junho 2018). «Algoritmo da Equação do Quarto Grau». Blog Cyberini. Consultado em 4 de julho de 2018