Equação do quarto grau: diferenças entre revisões
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[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]] |
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Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:<math display="block">ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,</math>em que os coeficientes <math>a \neq 0</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> e <math>e</math> são elementos de um [[Corpo (matemática)|corpo]], geralmente o dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]]. |
Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' ou '''equação quártica''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:<math display="block">ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,</math>em que os coeficientes <math>a \neq 0</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> e <math>e</math> são elementos de um [[Corpo (matemática)|corpo]], geralmente o dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]]. |
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Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:<math display="block">x^4+px^2+q=rx</math>Nota-se que a equação geral <math>az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0</math> pode ser reduzida a este caso através da transformação <math>z=x-\frac{b}{4a},</math> e dividindo a equação resultante por <math>a</math>. |
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:<math display="block">x^4+px^2+q=rx</math>Nota-se que a equação geral <math>az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0</math> pode ser reduzida a este caso através da transformação <math>z=x-\frac{b}{4a},</math> e dividindo a equação resultante por <math>a</math>. |
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Ao dividirmos a equação por <math>a</math>, a equação terá a forma <math>z^4+Az^3+Bz^2+Cz+D=0</math>, onde <math>A=\frac{b}{a}</math>, <math>B=\frac{c}{a}</math>, <math>C=\frac{d}{a}</math> e <math>D=\frac{e}{a}</math><ref name=":0">{{citar web|url=https://www.blogcyberini.com/2018/06/algoritmo-equacao-quarto-grau.html|titulo=Algoritmo da Equação do Quarto Grau|data=9 de junho 2018|acessodata=4 de julho de 2018|publicado=Blog Cyberini|ultimo=Felipe|primeiro=Henrique}}</ref>. Ao realizar a substituição <math>z=x-\frac{B}{4}</math>a equação assumirá a forma reduzida <math>x^4+px^2+q=rx</math>, onde<ref name=":0" /> |
Ao dividirmos a equação por <math>a</math>, a equação terá a forma <math>z^4+Az^3+Bz^2+Cz+D=0</math>, onde <math>A=\frac{b}{a}</math>, <math>B=\frac{c}{a}</math>, <math>C=\frac{d}{a}</math> e <math>D=\frac{e}{a}</math><ref name=":0">{{citar web|url=https://www.blogcyberini.com/2018/06/algoritmo-equacao-quarto-grau.html|titulo=Algoritmo da Equação do Quarto Grau|data=9 de junho 2018|acessodata=4 de julho de 2018|publicado=Blog Cyberini|ultimo=Felipe|primeiro=Henrique}}</ref>. Ao realizar a substituição <math>z=x-\frac{B}{4}</math> a equação assumirá a forma reduzida <math>x^4+px^2+q=rx</math>, onde<ref name=":0" /> |
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<math>p=B-\frac{3}{8}A^2</math> |
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Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:
Exemplos[editar | editar código-fonte]
Existência de soluções[editar | editar código-fonte]
O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.
Formas especiais[editar | editar código-fonte]
Equação biquadrática[editar | editar código-fonte]
Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:
Produtos Notáveis[editar | editar código-fonte]
Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em
- Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou
Formula de Wilson x⁴=y²
O método de Ferrari[editar | editar código-fonte]
As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:
Ao dividirmos a equação por , a equação terá a forma , onde , , e [1]. Ao realizar a substituição a equação assumirá a forma reduzida , onde[1]
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja,
ou seja,
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.
Em outras palavras, isto requer:
Retomando o cálculo da incógnita temos que
Com isso a equação pode ser reescrita como ou
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:
Ver também[editar | editar código-fonte]
- ↑ a b c Felipe, Henrique (9 de junho 2018). «Algoritmo da Equação do Quarto Grau». Blog Cyberini. Consultado em 4 de julho de 2018