Equação do quarto grau: diferenças entre revisões
format. <math> e pontuação |
Alterei o ínicio do texto acrescentando mais informações |
||
Linha 2: | Linha 2: | ||
{{revisão|data=setembro de 2012}} |
{{revisão|data=setembro de 2012}} |
||
[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]] |
[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]] |
||
Equação do quarto grau é quando o expoente da expressão é quatro, ou seja, se o expoente for três a equação será denominada como uma equação do terceiro grau. |
|||
Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por: |
Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por: |
||
Revisão das 19h34min de 31 de maio de 2017
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Setembro de 2012) |
Esta página ou seção foi marcada para revisão devido a incoerências ou dados de confiabilidade duvidosa.Setembro de 2012) ( |
Equação do quarto grau é quando o expoente da expressão é quatro, ou seja, se o expoente for três a equação será denominada como uma equação do terceiro grau.
Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:
com
Exemplos
Existência de soluções
O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.
Formas especiais
Equação biquadrática
Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma: como Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis: onde Cujas raízes em são descobertas pela Fórmula de Bhaskara:
- logo: e
Produtos Notáveis
Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em
- Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou
Formula de Wilson x⁴=y²
O método de Ferrari
As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como: Nota-se que a equação geral pode ser reduzida a este caso através da transformação e dividindo a equação resultante por
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja,
Em seguida, somam-se termos em uma nova variável porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar devemos somar também ou seja:
Reescrevendo:
O segundo membro da equação pode ser reescrito como onde e são soluções da equação quadrática
ou seja,
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.
Em outras palavras, isto requer:
que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:
onde apenas uma raíz é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real).
Retomando o cálculo da incógnita temos que
Com isso a equação pode ser reescrita como ou
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes: