Equação do quarto grau

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é o resultado de um polinômio do quarto grau igualado a zero. Um exemplo,

$2x^{4}+4x^{3}-26x^{2}-28x+48=0\,$

A forma geral duma equação do quarto grau é:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0\,} , com $a_{0}\neq 0.$

Suporemos sempre que α₄ é diferente de zero, pois caso contrário seria uma equação de grau menor que quatro.

Como podemos deduzir do Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), quer complexas ou duplicadas.

Resolver a equação quártica significa encontrar as suas raízes.

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o seguinte método desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

Começamos por dividir a equação por α₄ para chegarmos a uma equação da forma

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\qquad (1)$

A substituição x = t - a/4 elimina o termo cúbico e em consequência de tal obtemos a equação

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle t^4 + pt^2 + qt + r = 0, \qquad (2)}

onde

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle p = -\frac{3a^2}{8} + b,\quad q = \frac{a^3}{8} - \frac{ab}{2} + c \quad\mbox{e}\quad r = -\frac{3a^4}{256} + \frac{ba^2}{16} - \frac{ac}{4} + d. \qquad }

Esta é chamada a quártica reduzida.

A fim de resolvermos a equação (2), reescrevemo-la da seguinte forma

$t^{4}+pt^{2}=-qt-r,\quad$

e completamos o quadrado

$t^{4}+2pt^{2}+p^{2}=-qt-r+pt^{2}+p^{2},\quad$

i.e.

$(t^{2}+p)^{2}=pt^{2}-qt-r+p^{2}.\qquad (3)$

E agora o truque: para todo o y a equação (3) é equivalente à seguinte

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (t^2 + p + y)^2 = pt^2 -qt -r + p^2 + 2y(t^2 + p) + y^2 = (p + 2y)t^2 -qt + (p^2 - r +2py + y^2).\quad}

Mas o segundo membro é quadrático em t e podemos escolher y por forma a que seja um quadrado perfeito, basta para tal fazer o discriminante (do polinómio em t) igual a zero, o que impõe a seguinte condição à variável y

$(-q)^{2}-4(p+2y)(p^{2}-r+2py+y^{2})=0.\qquad$

Reescrevendo-a obtemos

$(q^{2}-4p^{3}+4pr)+(-16p^{2}+8r)y-20py^{2}+8y^{3}=0,\qquad$

a qual é uma equação cúbica em y, pelo que a resolução de uma equação quártica reduz-se à resolução de uma equação cúbica conveniente.