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Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas
Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:em que os coeficientes , , , e são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.
Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:Como , esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis , de modo queOs valores de que satisfazem esta equação são dados pela fórmula:
Logo, e .
Produtos Notáveis
Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em
Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou
Formula de Wilson x⁴=y²
O método de Ferrari
As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:Nota-se que a equação geral pode ser reduzida a este caso através da transformação e dividindo a equação resultante por .
Ao dividirmos a equação por , a equação terá a forma , onde , , e [1]. Ao realizar a substituição a equação assumirá a forma reduzida , onde[1]
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja, Em seguida, somam-se termos em uma nova variável porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar devemos somar também ou seja:Reescrevendo:O segundo membro da equação pode ser reescrito como onde e são soluções da equação quadrática
ou seja,
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.
Em outras palavras, isto requer:que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:onde apenas uma raiz é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando , a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva[1].
Retomando o cálculo da incógnita temos que
Com isso a equação pode ser reescrita como ou
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes: