Equação do quarto grau

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$$em que os coeficientes $a\neq 0$, $b$, $c$, $d$ e $e$ são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

Exemplos

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$$$x^{4}-1=0$$$$x^{4}-5x^{2}+6=0$$

Existência de soluções

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:$$px^{4}+qx^{2}+r=0.$$Como $p\neq 0$, esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis $y=x^{2}$, de modo que$$py^{2}+qy+r=0.$$Os valores de $y$ que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: $y={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}.$ Logo, $x=\pm {\sqrt {\frac {-q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}$ e $x=\pm {\sqrt {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}$.

Produtos Notáveis

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida $\left(x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\right),$ apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em $x=-{\dfrac {b}{4a}}.$

• Exemplo: $x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0$ quando reduzido fica na forma $z^{4}=0,$ logo $x=-{\dfrac {b}{4a}}$ ou $x=1.$

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:$$x^{4}+px^{2}+q=rx$$Nota-se que a equação geral $az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0$ pode ser reduzida a este caso através da transformação $z=x-{\frac {b}{4a}},$ e dividindo a equação resultante por $a$.

Ao dividirmos a equação por $a$, a equação terá a forma $z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0$, onde $A={\frac {b}{a}}$, $B={\frac {c}{a}}$, $C={\frac {d}{a}}$ e $D={\frac {e}{a}}$. Ao realizar a substituição $z=x-{\frac {B}{4}}$ a equação assumirá a forma reduzida $x^{4}+px^{2}+q=rx$, onde

$p=B-{\frac {3}{8}}A^{2}$

$r=-{\frac {1}{8}}A^{3}+{\frac {1}{2}}AB-C$

$q=-{\frac {3}{256}}A^{4}+{\frac {1}{16}}A^{2}B-{\frac {1}{4}}AC+D$

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual $(x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^{4}+px^{2}+q,$ é transformado no quadrado baseado em $x^{4}+q,$ ou seja, $x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:$$$x^{4}+q=rx-px^{2}$$$$x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx$$$$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}$$Em seguida, somam-se termos em uma nova variável $y,$ porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar $y^{2},$ devemos somar também $2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),$ ou seja:$$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}$$Reescrevendo:$$(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}$$O segundo membro da equação pode ser reescrito como $(2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),$ onde $x_{+}$ e $x_{-}$ são soluções da equação quadrática

$(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,$ ou seja, $x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}$

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que $(2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})$ seja um quadrado, então escreveremos que $x_{+}=x_{-},$ que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:$$r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0$$que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:$$8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,$$onde apenas uma raiz $y_{1}$ é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando $r\neq 0$, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva.

Retomando o cálculo da incógnita $x,$ temos que $x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}$

Com isso a equação $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},$ pode ser reescrita como $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,$ ou $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0$

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

$x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0$

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

$x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0$

$x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0$

O polinômio de Martinelli

O polinômio é dado por:

$(2(k^{5}+Ck^{3}+Dk^{2}+Ek)-F)(13k^{5}+6Ck^{3}-5Dk^{2}+(-2E+C^{2})k+F-DC)-(k^{4}+Ck^{2}+Dk+E)(5k^{3}+Ck-D)^{2}=0$

O polinômio foi desenvolvido para solucionar casos específicos de equações do quinto grau mas pode ser usado também para resolver qualquer equação do quarto grau. O polinômio de Martinelli ou Igualdade de Martinelli é uma equação polinomial de décimo grau onde uma de suas raízes pode ser usada para separar uma equação de quinto grau em duas de grau menores.

Para solucionar uma equação de quarto grau com o polinômio de Martinelli é preciso transformar o polinômio de quarto grau em um de quinto grau. Exemplo:

$x^{4}+7x^{3}+39x^{2}+67x+78=0$ .

Com isso podemos criar uma equação de quinto grau multiplicando por algum binômio que tenha, de preferência, um número racional.

Podemos fazer $(x+1)(x^{4}+7x^{3}+39x^{2}+67x+78)=0$ que resulta na equação $x^{5}+8x^{4}+46x^{3}+106x^{2}+145x+78=0$.

Após utilizar a transformação de Martinelli obtemos a seguinte equação: $t^{5}+510t^{3}-4110t^{2}+37985t-90978=0$ e uma de suas raízes é 3 positivo, pois considerando a fração $x={\frac {-b+t}{5a}}$ podemos concluir que $-1={\frac {-8+t}{5(1)}}$ , assim t será igual a 3 e isso indica que encontramos uma das raízes da equação transformada..

Feito esses passos podemos substituir os coeficientes do polinômio de Martinelli com os coeficientes da equação transformada:

$$((13k^{5}+3060k^{3}+20550k^{2}+184130k+2005122)(2k^{5}+1020k^{3}-8220k^{2}+75970k+90978))-((k^{4}+510k^{2}-4110k+37985)(5k^{3}+510k+4110)^{2})=0$$

Assim, expandindo a igualdade acima, teremos o seguinte polinômio de Martinelli:

$$k^{10}+1530k^{8}-4110k^{7}+666345k^{6}-3191442k^{5}+77014200k^{4}-258942480k^{3}-1889076340k^{2}+79266711480k-459224429184=0$$

Onde haverão 10(dez) raízes e uma dessas raízes pode ser usada para separar a equação de quinto grau em duas de grau menores como uma de segundo e uma de terceiro.

Se 3 é uma das raízes da equação transformada e as raízes do polinômio de Martinelli são a soma de duas raízes da equação transformada podemos simplificar o polinômio de Martinelli dividindo o mesmo pela equação transformada após fazer uma mudança de variável inserindo 3 positivo na variável da equação transformada:

$(t-3)^{5}+510(t-3)^{3}-4110(t-3)^{2}+37985(t-3)-90978=0$

segue que:

$t^{5}-15t^{4}+600t^{3}-8970t^{2}+76820t-255936=0$

Assim, verificaremos que existem raízes em t que são correspondentes as raízes k do polinômio de Martinelli. Nesse caso 6 é uma das raízes do polinômio de Martinelli.

Feito isso podemos separar a equação de quinto grau em duas de grau menor. Para isso devemos considerar o seguinte:

$(t^{2}-kt+n)(t^{3}+kt^{2}+lt+m)=0$

sendo $n={\frac {2(k^{5}+Ck^{3}+Dk^{2}+Ek)-F}{5k^{3}+Ck-D}}$,$l=k^{2}-n+C$ e $m={\frac {F}{n}}$ . As letras C, D, E e F são os coeficientes da equação transformada. Como sabemos que uma das raízes do polinômio de Martinelli dado é 6 então a variável k é 6, C = 510, D = -4110, E = 37985 e F = -90978. Com essas informações podemos substituir em k, n, l e m e assim obter uma equação de segundo grau e uma de terceiro grau ambas resolvíveis.

No exemplo temos que n = 59, l = 487 e m = -1542. Assim nossa equação fica sendo: $(t^{2}-6t+59)(t^{3}+6t^{2}+487t-1542)=0$ que é exatamente a equação transformada se expandirmos essa fatoração. Após resolver cada equação é preciso usar $x={\frac {-b+t}{5a}}$ e assim descobrir as raízes da equação original.

Ver também

• Equação polinomial

Referências

Ligações externas

• Calculadora de equações do quarto grau