Saltar para o conteúdo

Equação do quarto grau: diferenças entre revisões

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Adição de conteúdo
Etiquetas: Edição via dispositivo móvel Edição feita através do sítio móvel
Cyberini (discussão | contribs)
Desfeita a edição 55931793 de 177.21.110.15
Etiqueta: Desfazer
Linha 3: Linha 3:
[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]]
[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]]
Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' ou '''equação quártica''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:<math display="block">ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,</math>em que os coeficientes <math>a \neq 0</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> e <math>e</math> são elementos de um [[Corpo (matemática)|corpo]], geralmente o dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]].
Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' ou '''equação quártica''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:<math display="block">ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,</math>em que os coeficientes <math>a \neq 0</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> e <math>e</math> são elementos de um [[Corpo (matemática)|corpo]], geralmente o dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]].
Exemplos de equação de quarto grau:
2x^4+x^3+x^2+2x


== Exemplos ==
== Exemplos ==

Revisão das 03h15min de 8 de agosto de 2019

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:em que os coeficientes , , , e são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

Exemplos

Existência de soluções

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:Como , esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis , de modo queOs valores de que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: Logo, e .

Produtos Notáveis

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em

  • Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:Nota-se que a equação geral pode ser reduzida a este caso através da transformação e dividindo a equação resultante por .

Ao dividirmos a equação por , a equação terá a forma , onde , , e [1]. Ao realizar a substituição a equação assumirá a forma reduzida , onde[1]

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja, Em seguida, somam-se termos em uma nova variável porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar devemos somar também ou seja:Reescrevendo:O segundo membro da equação pode ser reescrito como onde e são soluções da equação quadrática

ou seja,

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:onde apenas uma raiz é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando , a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva[1].

Retomando o cálculo da incógnita temos que

Com isso a equação pode ser reescrita como ou

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:


Ver também

Referências
  1. a b c Felipe, Henrique (9 de junho 2018). «Algoritmo da Equação do Quarto Grau». Blog Cyberini. Consultado em 4 de julho de 2018 

Ligações externas

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.