Equação do quarto grau

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$ com $a\neq 0.$

Com $a\neq 0,$ pois no contrário o polinômio seria de grau menor ou igual a três.

Exemplos

$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$

$x^{4}-1=0$

$x^{4}-5x^{2}+6=0$

Existência de soluções

O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:

$px^{4}+qx^{2}+r=0,$ como $p\neq 0$

Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis:

$py^{2}+qy+r=0,$ onde $y=x^{2}$

Cujas raízes em $y$ são descobertas pela Fórmula de Bhaskara: $y={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}},$

logo: $x=\pm {\sqrt {\frac {-q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}$ e $x=\pm {\sqrt {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}$

Produtos Notáveis

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida $\left(x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\right),$ apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em $x=-{\dfrac {b}{4a}}.$

• Exemplo: $x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0$ quando reduzido fica na forma $z^{4}=0,$ logo $x=-{\dfrac {b}{4a}}$ ou $x=1.$

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

$x^{4}+px^{2}+q=rx$

Nota-se que a equação geral $az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0$ pode ser facilmente reduzida a este caso através da transformação $z=x-{\frac {b}{4a}},$ e dividindo a equação resultante por $a.$

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual $(x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^{4}+px^{2}+q,$ é transformado no quadrado baseado em $x^{4}+q,$ ou seja, $x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:$

$x^{4}+q=rx-px^{2}$

$x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx$

$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}$

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável $y$, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar $y^{2}$, devemos somar também $2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),$ ou seja:

$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=$

$rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}$

Reescrevendo:

$(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}$

O segundo membro da equação pode ser reescrito como $(2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),$ onde $x_{+}$ e $x_{-}$ são soluções da equação quadrática

$(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,$ ou seja, $x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}$

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que $(2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})$ seja um quadrado, então escreveremos que $x_{+}=x_{-},$ que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:

$r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0$

que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:

$8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,$ onde apenas uma raíz $y_{1}$ é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real).

Retomando o cálculo da incógnita $x,$ temos que $x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}$

Com isso a equação $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},$ pode ser reescrita como $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,$ ou $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0$

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

$x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0$

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

$x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0$

$x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0$

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