Bissetriz

Uma bissetriz (ou, em alternativa, bissectriz em Portugal) é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

Tipos de bissetriz

Existem dois tipos de bissetriz:

• A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo
• A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar a este.

Propriedades de uma bissetriz

• As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
• Analogamente, as bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.
• As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.

Construção com régua e compasso

Construção de uma bissetriz

É possível construir a bissetriz de um ângulo usando apenas régua e compasso.Para isso, é necessário seguir os seguintes passos:

1. Quando se quer fazer a bissetriz em um determinado ângulo O, põe-se o compasso no ponto O e traça-se uma circunferência (de qualquer raio), que interceptará as semirretas que determinam o ângulo nos pontos A e B.
2. Põe-se então o compasso no ponto A e traça-se uma circunferência (também de qualquer tamanho, mas se espera que ela não seja pequena demais)
3. Repete-se o mesmo procedimento do A no ponto B (mas a circunferência tem que ter o mesmo raio que a do ponto A).
4. As duas circunferências se interceptarão nos pontos C e C' (ou talvez apenas em um ponto C,dependendo do tamanho das circunferências).Traça-se então uma reta OC (ou OC').Esta reta será a bissetriz do ângulo O.

Para a bissetriz de um ângulo côncavo

A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.

As bissetrizes em um triângulo

Bissetrizes de um triângulo e círculos exinscritos e inscritos

Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.

• As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
• É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é equidistante a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.

Teorema da bissetriz interna

Neste triângulo, BD:DC = AB:AC.

O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:

${\frac {AB}{BD}}={\frac {AC}{CD}}$

Teorema da bissetriz externa

Neste triângulo BH:CH=AB:AC

O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que:

${\frac {AC}{CH}}={\frac {AB}{BH}}$

Referências