Ideal (teoria dos anéis): diferenças entre revisões
m ajustes |
|||
(Há 28 revisões intermédias de 26 utilizadores que não estão a ser apresentadas) | |||
Linha 1: | Linha 1: | ||
{{Sem-fontes|data=julho de 2017}} |
|||
Em [[teoria dos anéis]], um ramo da [[álgebra abstrata]], um '''ideal''' é um [[subconjunto]] especial de um [[anel (álgebra)|anel]]. O conceito generaliza de uma maneira apropriada algumas importantes propriedades dos [[inteiro]]s como "número par" e "múltiplo de 3". |
Em [[teoria dos anéis]], um ramo da [[álgebra abstrata]], um '''ideal''' é um [[subconjunto]] especial de um [[anel (álgebra)|anel]]. O conceito generaliza de uma maneira apropriada algumas importantes propriedades dos [[inteiro]]s como "número par" e "múltiplo de 3". |
||
Por exemplo, em anéis estuda-se [[ideal primo|ideais primos]] ao invés de [[número primo|números primos]], define-se ideais |
Por exemplo, em anéis estuda-se [[ideal primo|ideais primos]] ao invés de [[número primo|números primos]], define-se ideais coprimos como generalizações dos números [[coprimo]]s e pode-se provar um [[teorema do resto chinês]] para ideais. Nos [[domínio de Dedekind|domínios de Dedekind]], importante classe de anéis para a [[teoria dos números]], pode-se inclusive imitar-se uma versão do [[teorema fundamental da aritmética]]. Nesses anéis, todo ideal não-zero pode ser escrito como um produto único de ideais primos. |
||
Um ideal pode ser usado para a construção de um [[anel quociente]] da mesma |
Um ideal pode ser usado para a construção de um [[anel quociente]] da mesma forma que um [[subgrupo normal]] pode ser usado para a construção de um [[grupo quociente]]. |
||
== História == |
== História == |
||
Ideais fora propostos primeiramente por [[Dedekind]] em [[1876]] na terceira edição do seu livro ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' (''Seminários em Teoria dos Números''). Eles foram uma generalização para o conceito de [[número ideal]] desenvolvido por [[Ernst Kummer]]. Mais tarde o conceito foi expandido por [[David Hilbert]] e especialmente [[Emmy Noether]]. |
Ideais fora propostos primeiramente por [[Dedekind]] em [[1876]] na terceira edição do seu livro ''[[Vorlesungen über Zahlentheorie]]'' (''Seminários em Teoria dos Números''). Eles foram uma generalização para o conceito de [[número ideal]] desenvolvido por [[Ernst Kummer]]. Mais tarde o conceito foi expandido por [[David Hilbert]] e especialmente [[Emmy Noether]]. |
||
== Definições == |
== Definições == |
||
Linha 14: | Linha 15: | ||
* (''I'', +) é um [[subgrupo]] de (''R'', +) |
* (''I'', +) é um [[subgrupo]] de (''R'', +) |
||
* ''xr'' está em ''I'' para todo ''x'' em ''I'' e todo ''r'' |
* ''xr'' está em ''I'' para todo ''x'' em ''I'' e todo ''r'' em ''R'' |
||
e '''ideal à esquerda''' se |
e '''ideal à esquerda''' se |
||
* (''I'', +) é um [[subgrupo]] de (''R'', +) |
* (''I'', +) é um [[subgrupo]] de (''R'', +) |
||
* ''rx'' está em ''I'' para todo ''x'' em ''I'' e todo ''r'' |
* ''rx'' está em ''I'' para todo ''x'' em ''I'' e todo ''r'' em ''R'' |
||
Os ideais à esquerda em ''R'' são exatamente os ideais à direita no [[anel oposto]] ''R''<sup>op</sup> e vice-versa. Quando ''R'' é um anel [[comutatividade|comutativo]] as noções de ideal à esquerda e à direita coincidem e o ideal bilateral é chamado simplesmente de '''ideal'''. |
Os ideais à esquerda em ''R'' são exatamente os ideais à direita no [[anel oposto]] ''R''<sup>op</sup> e vice-versa. Quando ''R'' é um anel [[comutatividade|comutativo]] as noções de ideal à esquerda e à direita coincidem e o ideal bilateral é chamado simplesmente de '''ideal'''. |
||
Os [[subconjuntos]] {0} e ''R'' de um anel ''R'' são ideais. |
Os [[subconjuntos]] {0} e ''R'' de um anel ''R'' são ideais. Esses são denominados ideais triviais de ''R''. |
||
Chama-se ''I'' de '''ideal próprio''' se este é um conjunto próprio de ''R'', ou seja, ''I'' não é idêntico ao ''R''. |
Chama-se ''I'' de '''ideal próprio''' se este é um conjunto próprio de ''R'', ou seja, ''I'' não é idêntico ao ''R''. |
||
A interseção de uma coleção (não-vazia) de ideais é um ideal. |
A [[interseção]] de uma coleção (não-vazia) de ideais é um ideal. |
||
Se ''A'' é um conjunto qualquer de ''R'', então define-se o '''ideal gerado''' por ''A'' como o menor ideal de ''R'' contendo ''A''. Ele está bem definido como a interseção (não vazia, porque <math>A \subset R\,</math>) de todos ideais que contém ''A''. Este é denotado por <A> ou (A) e é compreendido com todas as somas finitas da forma |
Se ''A'' é um conjunto qualquer de ''R'', então define-se o '''ideal gerado''' por ''A'' como o menor ideal de ''R'' contendo ''A''. Ele está bem definido como a interseção (não vazia, porque <math>A \subset R\,</math>) de todos ideais que contém ''A''. Este é denotado por <A> ou (A) e é compreendido com todas as somas finitas da forma |
||
Linha 33: | Linha 34: | ||
com cada ''r''<sub>''i''</sub> em ''R'' e cada ''a''<sub>''i''</sub> em ''A''. O ideal é dito ser '''finitamente gerado''' se o conjunto gerador ''A'' é finito, ou seja, pode-se escrever todo elemento ''x'' de ''I'' como |
com cada ''r''<sub>''i''</sub> em ''R'' e cada ''a''<sub>''i''</sub> em ''A''. O ideal é dito ser '''finitamente gerado''' se o conjunto gerador ''A'' é finito, ou seja, pode-se escrever todo elemento ''x'' de ''I'' como |
||
:<math> x = \sum_{k=1}^{n} r_{k} a_{k}</math> |
:<math> x = \sum_{k=1}^{n} r_{k} a_{k}</math> |
||
onde ''r''<sub>''k''</sub> é um |
onde ''r''<sub>''k''</sub> é um elemento de ''R'' e A={''a''<sub>''k''</sub> : ''k'' = 1, ..., ''n''} é um [[conjunto finito]] fixo de ''R''. |
||
== Exemplos == |
== Exemplos e contra exemplos == |
||
* Os [[inteiro]]s pares formam um ideal no anel '''Z''' dos inteiros, sendo denotado por 2'''Z'''. Isto é porque a |
* Os [[inteiro]]s pares formam um ideal no anel '''Z''' dos inteiros, sendo denotado por 2'''Z'''. Isto é porque a soma de inteiros pares é um inteiro par, e o produto de um inteiro por por qualquer outro inteiro é par. |
||
* Os números naturais não formam um ideal no anel '''Z''' dos inteiros. A soma e o produto de números naturais é um número natural, mas o produto de um número natural (não-nulo) por um inteiro negativo não é um número natural. |
|||
* No anel '''Z''' dos inteiros cada ideal pode ser gerado por apenas um número (assim '''Z''' é um [[domínio principal]]) e o ideal determina o número salvo o sinal. Por isso os conceitos de "ideal" e de "número" são quase idênticos em '''Z''' (e em qualquer domínio principal). |
* No anel '''Z''' dos inteiros cada ideal pode ser gerado por apenas um número (assim '''Z''' é um [[domínio principal]]) e o ideal determina o número salvo o sinal. Por isso os conceitos de "ideal" e de "número" são quase idênticos em '''Z''' (e em qualquer domínio principal). |
||
* O conjunto dos [[polinômio]]s com coeficientes reais que são divisíveis pelo polinômio ''x''<sup>2</sup> + 1 é um ideal no anel de todos os polinômios. |
* O conjunto dos [[polinômio]]s com coeficientes reais que são divisíveis pelo polinômio ''x''<sup>2</sup> + 1 é um ideal no anel de todos os polinômios. |
||
Linha 43: | Linha 45: | ||
* {0} e ''R'' são ideais em todos os anéis ''R''. Se ''R'' é comutativo, então ''R'' é um [[Corpo (matemática)|corpo]] [[se e somente se]] este tem apenas dois ideais: {0} e ''R''. |
* {0} e ''R'' são ideais em todos os anéis ''R''. Se ''R'' é comutativo, então ''R'' é um [[Corpo (matemática)|corpo]] [[se e somente se]] este tem apenas dois ideais: {0} e ''R''. |
||
== Tipos de ideais == |
== Tipos de ideais == |
||
Ideais são importantes porque eles aparecem como núcleos dos [[homomorfismo de anéis|homomorfismos de anéis]] e permitem a definição de [[anel quociente]]. São vários os tipos de ideais estudados. Isso se deve a que cada um gera diferentes tipos de anéis quocientes. |
Ideais são importantes porque eles aparecem como núcleos dos [[homomorfismo de anéis|homomorfismos de anéis]] e permitem a definição de [[anel quociente]]. São vários os tipos de ideais estudados. Isso se deve a que cada um gera diferentes tipos de anéis quocientes. |
||
* '''[[Ideal maximal]]''': Um ideal próprio ''I'' é chamado um '''ideal maximal''' se não existe um outro ideal próprio ''J'' tal que ''I'' é um subconjunto de ''J''. O anel quociente de um ideal maximal é um [[Corpo (matemática)|corpo]]. |
* '''[[Ideal maximal]]''': Um ideal próprio ''I'' é chamado um '''ideal maximal''' se não existe um outro ideal próprio ''J'' tal que ''I'' é um subconjunto de ''J''. O anel quociente de um ideal maximal é um [[Corpo (matemática)|corpo]]. |
||
*'''[[Ideal Minimal]]''': Um ideal não nulo ''l'' é chamado um '''ideal minimal''' se não existe um outro ideal não nulo ''J'' tal que J é um subconjunto de ''I.'' |
|||
* '''[[Ideal primo]]''': Um ideal próprio ''I'' é chamado um '''ideal primo''' se para qualquer ''a'' e ''b'' em ''R'' e ''ab'' em ''I'', então ao menos um (''a'' ou ''b'') está em ''I''. O anel quociente de um ideal primo é um [[domínio de integridade]]. |
* '''[[Ideal primo]]''': Um ideal próprio ''I'' é chamado um '''ideal primo''' se para qualquer ''a'' e ''b'' em ''R'' e ''ab'' em ''I'', então ao menos um (''a'' ou ''b'') está em ''I''. O anel quociente de um ideal primo é um [[domínio de integridade]]. |
||
* '''[[Ideal primário]]''': Um ideal ''I'' é chamado um '''ideal primário''' se para qualquer ''a'' e ''b'' em ''R'' e ''ab'' em ''I'', então ao menos um (''a'' ou ''b''<sup>n</sup>) está em ''I'', para algum [[número natural]] ''n''. Todo ideal primo é primário. |
* '''[[Ideal primário]]''': Um ideal ''I'' é chamado um '''ideal primário''' se para qualquer ''a'' e ''b'' em ''R'' e ''ab'' em ''I'', então ao menos um (''a'' ou ''b''<sup>n</sup>) está em ''I'', para algum [[número natural]] ''n''. Todo ideal primo é primário. |
||
* '''[[Ideal principal]]''': um ideal gerado por um elemento. |
* '''[[Ideal principal]]''': um ideal gerado por um elemento. |
||
* '''[[Ideal primitivo]]''': é o [[anulador]] de um [[módulo simples]] à esquerda. Um ideal primitivo à direita é definido similarmente. Note-se que, apesar do nome, ideais primitivos à direita e à esquerda são sempre ideais bilaterais. Anéis quocientes |
* '''[[Ideal primitivo]]''': é o [[anulador]] de um [[módulo simples]] à esquerda. Um ideal primitivo à direita é definido similarmente. Note-se que, apesar do nome, ideais primitivos à direita e à esquerda são sempre ideais bilaterais. Anéis quocientes construídos com ideais primitivos são [[anel primitivo|anéis primitivos]]. |
||
== Propriedades == |
== Propriedades == |
||
* Um ideal é próprio [[se e somente se]] este não contém 1. |
* Um ideal é próprio [[se e somente se]] este não contém 1. |
||
* Os ideais próprios podem ser [[parcialmente ordenado]]s por meio de inclusão em um conjunto. O [[teorema de Krull]] diz que, em um anel comutativo com elemento identidade (em que <math>0 \ne 1\,</math>), todo ideal próprio está contido em um [[ideal maximal]]. Este resultado depende do [[Lema de Zorn]]. |
* Os ideais próprios podem ser [[parcialmente ordenado]]s por meio de inclusão em um conjunto. O [[teorema de Krull]] diz que, em um [[anel comutativo]] com elemento identidade (em que <math>0 \ne 1\,</math>), todo ideal próprio está contido em um [[ideal maximal]]. Este resultado depende do [[Lema de Zorn]]. |
||
* Por causa do zero pertencer a ele, um ideal sempre é um conjunto não-vazio. |
* Por causa do zero pertencer a ele, um ideal sempre é um conjunto não-vazio. |
||
* O anel ''R'' pode ser considerado como um módulo à esquerda de si mesmo e os ideais de ''R'' então como submódulos deste módulo. Similarmente, os ideais à direita são submódulos de ''R'' como um módulos à direita de si mesmo e os ideais bilaterais são submódulos de ''R'' como um [[bimódulo]] sobre si mesmo. Se ''R'' é comutativo, então todos os três tipos de módulos são os mesmos assim como os três tipos de ideais são os mesmos. |
* O anel ''R'' pode ser considerado como um módulo à esquerda de si mesmo e os ideais de ''R'' então como submódulos deste módulo. Similarmente, os ideais à direita são submódulos de ''R'' como um módulos à direita de si mesmo e os ideais bilaterais são submódulos de ''R'' como um [[bimódulo]] sobre si mesmo. Se ''R'' é comutativo, então todos os três tipos de módulos são os mesmos assim como os três tipos de ideais são os mesmos. |
||
Linha 62: | Linha 65: | ||
== Operações com ideais == |
== Operações com ideais == |
||
Para os ideais ''I'' e ''J'' de ''R'', a soma e o produto são definidos como |
Para os ideais ''I'' e ''J'' de ''<math>\R</math>'', a soma e o produto são definidos como |
||
:<math>I+J:=\{a+b \,|\, a \in I \mbox{ e } b \in J\}</math> |
:<math>I+J:=\{a+b \,|\, a \in I \mbox{ e } b \in J\}</math> |
||
Linha 72: | Linha 75: | ||
ou seja, o produto de dois ideais ''I'' e ''J'' é definido como o ideal ''IJ'' gerado por todos os produtos da forma ''ab'' com ''a'' em ''I'' e ''b'' em ''J''. o Produto ''IJ'' está contido na [[intersecção]] de ''I'' e ''J''. |
ou seja, o produto de dois ideais ''I'' e ''J'' é definido como o ideal ''IJ'' gerado por todos os produtos da forma ''ab'' com ''a'' em ''I'' e ''b'' em ''J''. o Produto ''IJ'' está contido na [[intersecção]] de ''I'' e ''J''. |
||
A soma e a intersecção de ideais também é um ideal; com essas duas operações como supremo e ínfimo, o conjunto de todos os ideais de um anel comutativo forma um [[reticulado]]. Além disso, a [[união (matemática)|união]] de dois ideais é um subconjunto da soma desses ideais (para um elemento ''a'' dentro de um ideal pode-se escrevê-lo como ''a'' + 0 ou 0 + ''a''). No entanto, a união de dois ideais não é necessariamente um ideal. |
A soma e a intersecção de ideais também é um ideal; com essas duas operações como [[supremo e ínfimo]], o conjunto de todos os ideais de um anel comutativo forma um [[reticulado]]. Além disso, a [[união (matemática)|união]] de dois ideais é um subconjunto da soma desses ideais (para um elemento ''a'' dentro de um ideal pode-se escrevê-lo como ''a'' + 0 ou 0 + ''a''). No entanto, a união de dois ideais não é necessariamente um ideal. |
||
[[Categoria: |
[[Categoria:Ideais]] |
||
[[ca:Ideal (matemàtiques)]] |
|||
[[cs:Ideál (algebra)]] |
|||
[[da:Ideal (ringteori)]] |
|||
[[de:Ideal (Ringtheorie)]] |
|||
[[en:Ideal (ring theory)]] |
|||
[[es:Ideal de un anillo]] |
|||
[[fr:Idéal]] |
|||
[[he:אידאל (אלגברה)]] |
|||
[[it:Ideale (matematica)]] |
|||
[[ja:イデアル]] |
|||
[[ko:아이디얼]] |
|||
[[lmo:Ideaal (matemàtica)]] |
|||
[[nl:Ideaal (wiskunde)]] |
|||
[[pl:Ideał (teoria pierścieni)]] |
|||
[[ru:Идеал (алгебра)]] |
|||
[[sk:Ideál (okruhu)]] |
|||
[[sv:Ideal (matematik)]] |
|||
[[ta:வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)]] |
|||
[[zh:理想 (环论)]] |
Edição atual tal como às 20h12min de 25 de abril de 2024
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Julho de 2017) |
Em teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal é um subconjunto especial de um anel. O conceito generaliza de uma maneira apropriada algumas importantes propriedades dos inteiros como "número par" e "múltiplo de 3".
Por exemplo, em anéis estuda-se ideais primos ao invés de números primos, define-se ideais coprimos como generalizações dos números coprimos e pode-se provar um teorema do resto chinês para ideais. Nos domínios de Dedekind, importante classe de anéis para a teoria dos números, pode-se inclusive imitar-se uma versão do teorema fundamental da aritmética. Nesses anéis, todo ideal não-zero pode ser escrito como um produto único de ideais primos.
Um ideal pode ser usado para a construção de um anel quociente da mesma forma que um subgrupo normal pode ser usado para a construção de um grupo quociente.
História
[editar | editar código-fonte]Ideais fora propostos primeiramente por Dedekind em 1876 na terceira edição do seu livro Vorlesungen über Zahlentheorie (Seminários em Teoria dos Números). Eles foram uma generalização para o conceito de número ideal desenvolvido por Ernst Kummer. Mais tarde o conceito foi expandido por David Hilbert e especialmente Emmy Noether.
Definições
[editar | editar código-fonte]Seja R um anel com (R, +) sendo o grupo abeliano do anel, um subconjunto I de R é chamado ideal à direita se
- (I, +) é um subgrupo de (R, +)
- xr está em I para todo x em I e todo r em R
e ideal à esquerda se
- (I, +) é um subgrupo de (R, +)
- rx está em I para todo x em I e todo r em R
Os ideais à esquerda em R são exatamente os ideais à direita no anel oposto Rop e vice-versa. Quando R é um anel comutativo as noções de ideal à esquerda e à direita coincidem e o ideal bilateral é chamado simplesmente de ideal.
Os subconjuntos {0} e R de um anel R são ideais. Esses são denominados ideais triviais de R.
Chama-se I de ideal próprio se este é um conjunto próprio de R, ou seja, I não é idêntico ao R.
A interseção de uma coleção (não-vazia) de ideais é um ideal.
Se A é um conjunto qualquer de R, então define-se o ideal gerado por A como o menor ideal de R contendo A. Ele está bem definido como a interseção (não vazia, porque ) de todos ideais que contém A. Este é denotado por <A> ou (A) e é compreendido com todas as somas finitas da forma
- r1a1 + ··· + rnan
com cada ri em R e cada ai em A. O ideal é dito ser finitamente gerado se o conjunto gerador A é finito, ou seja, pode-se escrever todo elemento x de I como
onde rk é um elemento de R e A={ak : k = 1, ..., n} é um conjunto finito fixo de R.
Exemplos e contra exemplos
[editar | editar código-fonte]- Os inteiros pares formam um ideal no anel Z dos inteiros, sendo denotado por 2Z. Isto é porque a soma de inteiros pares é um inteiro par, e o produto de um inteiro por por qualquer outro inteiro é par.
- Os números naturais não formam um ideal no anel Z dos inteiros. A soma e o produto de números naturais é um número natural, mas o produto de um número natural (não-nulo) por um inteiro negativo não é um número natural.
- No anel Z dos inteiros cada ideal pode ser gerado por apenas um número (assim Z é um domínio principal) e o ideal determina o número salvo o sinal. Por isso os conceitos de "ideal" e de "número" são quase idênticos em Z (e em qualquer domínio principal).
- O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que são divisíveis pelo polinômio x2 + 1 é um ideal no anel de todos os polinômios.
- O conjunto de todas as matrizes nxn cuja última coluna é zero forma um ideal à esquerda no anel de todas as matrizes nxn e o conjunto de todas as matrizes nxn cuja última linha é zero forma um ideal à direita no mesmo.
- Todas as funções contínuas f tal que f(1) = 0 formam um ideal no anel F(R) de todas as funções contínuas f de R para R.
- {0} e R são ideais em todos os anéis R. Se R é comutativo, então R é um corpo se e somente se este tem apenas dois ideais: {0} e R.
Tipos de ideais
[editar | editar código-fonte]Ideais são importantes porque eles aparecem como núcleos dos homomorfismos de anéis e permitem a definição de anel quociente. São vários os tipos de ideais estudados. Isso se deve a que cada um gera diferentes tipos de anéis quocientes.
- Ideal maximal: Um ideal próprio I é chamado um ideal maximal se não existe um outro ideal próprio J tal que I é um subconjunto de J. O anel quociente de um ideal maximal é um corpo.
- Ideal Minimal: Um ideal não nulo l é chamado um ideal minimal se não existe um outro ideal não nulo J tal que J é um subconjunto de I.
- Ideal primo: Um ideal próprio I é chamado um ideal primo se para qualquer a e b em R e ab em I, então ao menos um (a ou b) está em I. O anel quociente de um ideal primo é um domínio de integridade.
- Ideal primário: Um ideal I é chamado um ideal primário se para qualquer a e b em R e ab em I, então ao menos um (a ou bn) está em I, para algum número natural n. Todo ideal primo é primário.
- Ideal principal: um ideal gerado por um elemento.
- Ideal primitivo: é o anulador de um módulo simples à esquerda. Um ideal primitivo à direita é definido similarmente. Note-se que, apesar do nome, ideais primitivos à direita e à esquerda são sempre ideais bilaterais. Anéis quocientes construídos com ideais primitivos são anéis primitivos.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- Um ideal é próprio se e somente se este não contém 1.
- Os ideais próprios podem ser parcialmente ordenados por meio de inclusão em um conjunto. O teorema de Krull diz que, em um anel comutativo com elemento identidade (em que ), todo ideal próprio está contido em um ideal maximal. Este resultado depende do Lema de Zorn.
- Por causa do zero pertencer a ele, um ideal sempre é um conjunto não-vazio.
- O anel R pode ser considerado como um módulo à esquerda de si mesmo e os ideais de R então como submódulos deste módulo. Similarmente, os ideais à direita são submódulos de R como um módulos à direita de si mesmo e os ideais bilaterais são submódulos de R como um bimódulo sobre si mesmo. Se R é comutativo, então todos os três tipos de módulos são os mesmos assim como os três tipos de ideais são os mesmos.
Operações com ideais
[editar | editar código-fonte]Para os ideais I e J de , a soma e o produto são definidos como
e
ou seja, o produto de dois ideais I e J é definido como o ideal IJ gerado por todos os produtos da forma ab com a em I e b em J. o Produto IJ está contido na intersecção de I e J.
A soma e a intersecção de ideais também é um ideal; com essas duas operações como supremo e ínfimo, o conjunto de todos os ideais de um anel comutativo forma um reticulado. Além disso, a união de dois ideais é um subconjunto da soma desses ideais (para um elemento a dentro de um ideal pode-se escrevê-lo como a + 0 ou 0 + a). No entanto, a união de dois ideais não é necessariamente um ideal.