Pi: diferenças entre revisões
m →Irracionalidade e normalidade: acho que nem no folclore existiu um "Freynman"... |
→Motivos para computar {{pi}}: add uso nos cálculos aeroespaciais + ajustes mínimos |
||
Linha 236: | Linha 236: | ||
=== Motivos para computar {{pi}} === |
=== Motivos para computar {{pi}} === |
||
[[Imagem:Record pi approximations.svg|thumb|Conforme matemáticos descobriam novos algoritmos, e computadores se tornaram disponíveis, o número de casas decimais conhecidas de {{pi}} aumentou drasticamente. A escala vertical é [[Escala logarítmica|logarítmica]].|esquerda|300x300px]] |
[[Imagem:Record pi approximations.svg|thumb|Conforme matemáticos descobriam novos algoritmos, e computadores se tornaram disponíveis, o número de casas decimais conhecidas de {{pi}} aumentou drasticamente. A escala vertical é [[Escala logarítmica|logarítmica]].|esquerda|300x300px]] |
||
Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo {{pi}}, apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são os suficientes para realizar a maioria dos cálculos [[cosmológico]]s, pois esta é a precisão necessária para calcular o volume do [[universo observável]] com |
Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo {{pi}}, apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são os suficientes para realizar a maioria dos cálculos [[cosmológico]]s, pois esta é a precisão necessária para calcular o volume do [[universo observável]] com a precisão de um átomo. Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar [[erro de arredondamento]] computacional, Arndt conclui que umas poucas centenas de dígitos de {{pi}} seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Apesar disso, pessoas trabalharam vigorosamente para computar milhares e milhões de dígitos.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}} Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes, e tais conquistas com {{pi}} costumam ser manchetes em todo o mundo.<ref name="msnbc.msn.com">{{citar jornal|título=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi |primeiro=Matt |último=Schudel |jornal=The Washington Post |data=25 de março de 2009 |página=B5 |lingua=en}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{citar jornal|título=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi? |url=https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |jornal=The Independent |data=8 de janeiro de 2010 |acessodata=14 de abril de 2012 |local=London |primeiro=Steve |último=Connor|urlmorta= não|arquivourl=https://web.archive.org/web/20120402220803/http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |arquivodata=2 de abril de 2012 |lingua=en}}</ref> |
||
O máximo de memorização alcançada por recordistas mundiais está em torno de {{fmtn|70000}} dígitos, embora o especialista da NASA Marc Rayman esclareça que, para as aplicações nos cálculos aeroespaciais da agência estadunidense, sejam usados 15 dígitos nas casas decimais (3,141592653589793), o que dá uma precisão estimada na circunferência atingida pela sonda [[Voyager 1|Voyager I]] (48 bilhões de quilômetros arredondados, em 2022) com margem de erro na largura de um dedo mindinho.<ref>{{citar web |url=https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/ |título=How Many Decimals of Pi Do We Really Need? |autor=NASA/EDU |data=24/10/2022 |website=jpl.nasa.gov |publicado=Jet Propulsion Laboratory (California Institute of Tecnology) |acessodata=13/7/2024 |língua=en |wayb=20240629183652 |urlmorta=}}</ref> |
|||
Também há benefícios práticos, como testar [[supercomputador]]es, testar algoritmos de análise numérica (incluindo [[algoritmos de multiplicação]] de alta precisão); e na própria matemática pura, prover dados para analisar a aleatoriedade dos dígitos de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=18}} |
|||
=== Séries de rápida convergência === |
=== Séries de rápida convergência === |
Revisão das 14h45min de 13 de julho de 2024
Parte de uma série de artigos sobre: |
a constante matemática π |
---|
3.1415926535897932384626433... |
Utilização |
Propriedades |
Valor |
Pessoas |
História |
Na cultura |
Tópicos relacionados |
O número π (pronuncia-se [pi]) é uma constante matemática que é razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159. O número π aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. É um número irracional, que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, por mais que frações como 227 são comumente utilizadas para ter um valor aproximado. Consequentemente, sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repete permanentemente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação que envolva apenas infinitas somas, produtos, potências, e inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de π são aparentemente distribuídos aleatoriamente,[nota 1] mas nenhuma prova para essa conjetura foi encontrada.
Por milhares de anos, matemáticos tentaram expandir seus conhecimentos sobre π, às vezes computando o seu valor a um alto nível de precisão. Civilizações antigas, incluindo os egípcios e os babilônicos, exigiam aproximações bastante precisas de π para cálculos práticos. Aproximadamente 250 a.C., o matemático grego Archimedes criou um algoritmo para aproximar π com uma precisão arbitrária. No século V d.C., matemáticos chineses aproximaram π a sete dígitos, enquanto os matemáticos indianos fizeram uma aproximação de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. A primeira fórmula computacional, baseado numa série infinita, foi descoberta um milênio depois.[1][2] O primeiro uso da letra π para representar a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro foi o matemático galês William Jones em 1706.[3]
A invenção do cálculo logo levou à computação de centenas de dígitos de π, o suficiente para todas as computações científicas práticas. No entanto, nos séculos XX e XXI, matemáticos e cientistas da computação buscaram novas abordagens que, combinadas com o aumento da potência computacional, estenderam a representação decimal de π para muitos trilhões de dígitos.[4][5] Essas computações são motivados pelo desenvolvimento de algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como pela busca humana por quebrar recordes.[6][7] Os extensos cálculos envolvidos também foram usados para testar supercomputadores, bem como para testar o hardware de computadores de consumidores.
Por sua definição estar relacionada à circunferência, π é encontrado em muitas fórmulas de trigonometria e geometria, especialmente aquelas relacionadas a circunferências, elipses e esferas. A constante pode ser encontrada também em fórmulas de outros tópicos da ciência, como cosmologia, fractais, termodinâmica, mecânica e eletromagnetismo. Também aparece em áreas pouco relacionadas à geometria, como teoria dos números e estatística, e na análise matemática moderna pode ser definido sem qualquer referência à geometria. A ubiquidade de π faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a π foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de π frequentemente resultam em manchetes de notícias.
Fundamentos
Nome
O símbolo utilizado pelos matemáticos para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro é a letra grega π minúscula, às vezes escrito como pi.[8] Em português, π é pronunciado como [pi].[9] Em usos matemáticos, a letra π minúscula é diferenciada de sua forma maiúscula Π, utilizado para denotar o produtório, análogo a como Σ é utilizado para denotar o somatório.
A escolha do símbolo π é discutia na seção § Adoção do símbolo π.
Definição
π é comumente definido como a razão do comprimento de uma circunferência C pelo seu diâmetro d:[10]
A razão é constante, independente do tamanho da circunferência. Por exemplo, se uma circunferência possui o dobro do diâmetro de outra circunferência, o seu comprimento também será o dobro, preservando a razão mencionada. Esta definição de π implica o uso de geometria (euclidiana) plana; por mais que a noção de circunferência pode ser estendida para qualquer geometria (não euclidiana) curva, esse não satisfazem a fórmula .[10]
Aqui, o comprimento de uma circunferência é o comprimento do arco ao redor do perímetro da circunferência, uma quantidade que pode ser formalmente definida independentemente da geometria utilizando limites — um conceito do cálculo.[11] Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior da circunferência unitária, dado em coordenadas cartesianas pela equação x2 + y2 = 1, como a integral:[12]
Uma integral como essa foi adotada como a definição para π por Karl Weierstrass, quem a definiu diretamente como uma integral em 1841.[nota 2]
Integração não é mais usualmente utilizado para a primeira definição analítica, porque, conforme Remmert explica, cálculo diferencial precede tipicamente o cálculo integral nos currículos das universidades, então é desejado uma definição para π que não necessite utilizar integrais.[12] Uma dessas definições, de Richard Baltzer[14] e popularizado por Edmund Landau,[15] é a seguinte: π é o dobro do menor número positivo no qual seu cosseno é igual a 0.[10][12][16] π também é o menor número positivo no qual o seno é igual a zero, e a diferença entre duas raízes consecutivas da função seno e cosseno. O cosseno e o seno podem ser definidos independentemente da geometria, como uma série de potências[17] ou a solução de uma equação diferencial.[16]
Semelhantemente, π pode ser definido utilizando as propriedades das função exponencial complexa exp z, de uma variável complexa z. Como o cosseno, a função exponencial complexa pode ser definida de diversas maneiras diferentes. O conjunto de números complexos no qual exp z é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma: e há um único número real positivo π com essa propriedade.[18][19]
Uma variação da mesma, utilizando conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema:[20] há um único (Salvo por automorfismo) isomorfismo contínuo do grupo R/Z de números reais sob a adição módulo inteiro (o grupo circular), no grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto um. O número π é definido como metade da magnitude da derivada deste homomorfismo.[21]
Irracionalidade e normalidade
π é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Frações como 227 e 355113 são usualmente utilizadas para aproximar π, mas nenhuma fração comum (razão entre dois números inteiros) pode expressar seu exato valor.[22] Visto que π é irracional, ele possui um infinito número de dígitos em sua representação decimal, nem é uma dízima periódica. Há diversas provas da irracionalidade de π; elas geralmente requerem cálculo e utilizam a técnica de redução ao absurdo. O grau no qual π pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade) não é precisamente conhecido; é estimado que seja maior que a medida de e ou ln 2, mas menor que a medida dos números de Liouville.[23]
Os dígitos de π não aparentam possuir nenhum tipo de padrão, passando em testes de aleatoriedade estatística, incluindo o teste de normalidade; um número de comprimento infinito é dito normal quando em todas as sequências de dígitos (de comprimento qualquer) aparecem com a mesma frequência. A conjectura de que π seja normal não foi provada nem refutada.[24]
Desde a chegada dos computadores, inúmeros dígitos estiveram disponíveis para realizar análise estatística. Yasumasa Kanada realizou uma análise estatística detalhada nos dígitos decimais de π, encontrando consistência na normalidade; por exemplo, a frequência dos dígitos de 0 a 9 foram submetidos a testes de significância estatística, e nenhum padrão foi encontrado.[25] Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências de comprimento arbitrário que parecem não aleatórios, pelo teorema do macaco infinito. Portanto, porque a sequência de dígitos de π passa em testes estatísticos de aleatoriedade, ele contém algumas sequências de dígitos que aparentam não ser aleatórias, como a sequência de seis noves consecutivos que começa na 762.ª casa decimal da representação decimal de π.[26] Isto também é conhecido como o "ponto de Feynman" no "folclore matemático", em homenagem a Richard Feynman, porém não há nenhuma ligação conhecida com Feynman.
Transcendência
Em adição de ser irracional, π também é um número transcendente, o que significa que não é a solução de nenhuma equação polinomial não constante com coeficientes racionais, como .[27][nota 3]
A transcendência de π tem duas importantes consequências: a primeira é que π não pode ser expresso utilizando uma combinação finita de raízes quadradas ou raízes n-ésimas (como ou ). A segunda é que, como não é possível construir [en] números transcendentes com régua e compasso, a quadratura do círculo é impossível. Noutras palavras, é impossível construir, utilizando apenas régua e compasso, um quadrado cuja área é exatamente igual à área de um dado círculo.[28] A quadratura do círculo era um dos importantes problemas da Antiguidade Clássica.[29] Matemáticos amadores da modernidade às vezes tentam quadrar o círculo e reivindicam sucesso — mesmo sendo de fato algo matematicamente impossível.[30][31]
Frações contínuas
Como é irracional, π não pode ser representado como uma fração comum. Mas todo número, incluindo π, pode ser representado como uma série infinita de frações uma dentro da outra, chamada de fração contínua:
Truncando a fração contínua em qualquer ponto produz uma aproximação racional para π; as quatro primeiro são 3, 227, 333106, e 355113. Estes números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e mais amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada desta forma se aproxima cada vez mais de π; ou seja, cada fração é mais próxima de π que uma de denominador igual ou menor.[32] Visto que π é transcendente, por definição não é algébrico e não pode ser um irracional quadrático. Portanto, não há uma fração contínua periódica para π. Por mais que fração contínua simples (mostrada acima) não demonstra nenhum padrão óbvio,[33][34] diversas frações contínuas generalizadas apresentam, como, por exemplo:[35]
A fração do meio dessas se deve ao matemático de meados do século XVII William Brouncker, veja § Fórmula de Brouncker.
Valores aproximados e dígitos
Algumas Aproximações de pi incluem:
- Inteiros: 3
- Frações: Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102, 10434833215, e 24585092278256779.[32] (Lista são termos selecionados de OEIS: A063674 e OEIS: A063673.)
- Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...[36] (ver OEIS: A000796)
Dígitos noutras bases
- Os primeiros 48 dígitos binários (base 2, chamado de bits) são 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... (ver OEIS: A004601)
- Os primeiros 38 dígitos em ternário (base 3) são 10,0102110122220102110021111102212222201... (ver OEIS: A004602)
- Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são 3,243F6A8885A308D31319...[37] (ver OEIS: A062964)
- Os primeiros 5 dígitos em sexagesimal (base 60) são 3;8,29,44,0,47[38] (ver OEIS: A060707)
Números complexos e identidade de Euler
Qualquer número complexo, consideremos z pode ser expresso utilizando um par de números reais. No sistema de coordenadas polares, um número (raio ou r) é utilizado para representar a distância de z da origem do plano complexo, e o outro (ângulo ou φ) é a rotação do eixo dos positivos reais:[39] onde i é a unidade imaginária que satisfaz i2 = -1. A frequente aparição de π na análise complexa pode ser relacionada ao comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrita pela fórmula de Euler onde e é a base do logaritmo natural. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre as potências imaginárias de e e pontos no círculo unitário centrado na origem do plano complexo. Quando φ = π, o resultado é a identidade de Euler, considerado uma beleza da matemática por mostrar uma profunda conexão entre cinco importantes constantes matemáticas:[40][41]
Existem n diferentes números complexos z que satisfaçam zn = 1, sendo chamadas de raízes n-ésimas da unidade,[42] dadas pela fórmula:
História
Antiguidade
As aproximações mais conhecidas de π datadas do primeiro milênio a.C. tinha uma precisão de duas casas decimais; isto foi aperfeiçoado pelos matemáticos chineses, em particular na metade do primeiro milênio, a com precisão de sete casas decimais. Após isso, nenhum progresso adicional foi feito até o final do período medieval.
As primeiras aproximações de π foram encontradas na Babilônia e Egito, ambos com um porcento de diferença do valor verdadeiro. Na Babilônia, uma Tábua de argila datada de 1900–1600 a.C. tem uma afirmação geométrica que, por implicação, trata π como 258 = 3,125.[43] No Egito, o Papiro de Rhind, datado de aproximadamente1650 a.C., mas copiada de um documento datado de 1850 a.C., tinha uma fórmula para a área do círculo que considerava π como .[34][43] Alguns piramidologistas teorizaram que a Grande Pirâmide de Gizé com proporções relacionadas com π, esta teoria não é amplamente aceita pelos estudiosos.[44] Nos Shulba Sutras dos matemáticos indianos, datando uma tradição oral do primeiro ou segundo milênio a.C. são fornecidas aproximações interpretadas de várias maneiras como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 ou 3,125.[45]
Era da aproximação por polígonos
O primeiro registro de um algoritmo para rigorosamente calcular o valor de π foi uma abordagem geométrica usando polígonos, desenvolvido por volta de 250 a.C. pelo matemático grego Arquimedes, implementando o método da exaustão.[46] Este algoritmo poligonal dominou por mais de mil anos, e, como resultado, π às vezes é referido como a constante de Arquimedes.[47] Arquimedes computou os limites superior e inferior de π ao desenhar um hexágono dentro e fora duma circunferência, e dobrando sucessivamente o número de lados até alcançar um polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros desses polígonos, ele provou que 22371 < π < 227 (isto é, 3,1408 < π < 3,1429).[48] O limite superior de Arquimedes de 227 pode ter causado a crença popular generalizada de que π é igual a 227.[49] Por volta de 150 d.C., o cientista greco-romano Ptolomeu, em Almagesto, deu o valor de 3,1416 a π, que ele pode ter obtido de Arquimedes ou de Apolônio de Perga.[50][51] Matemáticos alcançaram 39 dígitos de π usando algoritmos poligonais em 1630, um recorde foi batido em 1699, quando foi utilizado uma série infinita para alcançar 71 dígitos de π.[52]
Na China antiga, valores para π incluíam 3,1547 (em torno de 1 d.C.), (100 d.C., aproximadamente 3,1623), e 14245 (século III, aproximadamente 3,1556).[53] Por volta de 265 d.C., o matemático Liu Hui do Reino de Wei criou um algoritmo iterativo baseado em polígono e usou-o com um polígono de 3 072 lados para obter o valor de 3,1416 para π.[54][55] Posteriormente Liu inventou um método mais rápido para calcular π e obteve um valor de 3,14 com um polígono de 96 lados, aproveitando que as diferenças de área de polígonos sucessivos formam uma série geométrica com fator 4.[54] O matemático chinês Zu Chongzhi, por volta de 480 d.C, calculou que e sugeriu as aproximações e , os quais ele denominou Milü ("razão próxima") e Yuelü ("razão aproximada"), respectivamente, usando o algoritmo de Liu Hui aplicando num polígono de 12 288 lados. Com um valor correto para seus sete primeiros dígitos decimais, esse valor permaneceu como a aproximação mais precisa de π disponível pelos próximos 800 anos.[56]
O astrônomo indiano Ariabata usou um valor de 3,1416 em Aryabhatiya (499 d.C.).[57] Fibonacci em c. 1220 computou 3,1418 usando um método poligonal, de forma independente de Arquimedes.[58] O autor italiano Dante empregou aparentemente o valor de .[58]
O astrônomo persa Alcaxi produziu nove sexagesimais, aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424, usando um polígono com 3 × 228 lados,[59][60] que permaneceu como o recorde mundial por cerca de 180 anos.[61] O matemático francês François Viète em 1579 chegou a 9 dígitos com um polígono de 3 × 217 lados.[61] O matemático flandres Adriaan van Roomen chegou a 15 casas decimais em 1593.[61] Em 1596, o matemático holandês Ludolph van Ceulen atingiu 20 dígitos, um recorde que mais tarde aumentou para 35 dígitos (como resultado, π foi chamado de "número de Ludolph" na Alemanha até o início do século XX).[62] O cientista holandês Willebrord Snellius atingiu 34 dígitos em 1621,[63] e o astrônomo Christoph Grienberger chegou a 38 dígitos usando 1040 lados.[64] Christiaan Huygens conseguiu chegar a 10 casas decimais em 1654 usando um método ligeiramente diferente equivalente à extrapolação de Richardson [en].[65][66]
Séries infinitas
O cálculo de π foi revolucionado com o desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. Séries infinitas possibilitou que matemáticos computassem π com muito mais precisão do que Arquimedes e outros que utilizaram técnicas geométricas.[67] Por mais que séries infinitas foram mais exploradas para π por matemáticos europeus, como James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz, a abordagem também apareceu na escola de Querala em algum momento do século XIV ou XV.[68][69] Em torno de 1500 d.C., uma descrição escrita duma série infinita que poderia ser utilizada para computar π foi deixada em verso sânscrito em Tantrasamgraha por Nilakantha Somayaji.[68] As séries foram apresentadas sem provas, mas elas foram apresentadas numa obra posterior, Yuktibhāṣā, em torno de 1530 d.C. Diversas séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno (que Nilakantha atribui a Madhava de Sangamagrama), cosseno e arco tangente. Madhava usou uma série infinita para estimar 11 dígitos de π por volta de 1400.[70]
Em 1593, François Viète publicou o que é conhecido agora como a fórmula de Viète, um produto infinito [en] (em vez de uma soma infinita, que é mais comumente utilizada para calcular π):[71][72][73]
Em 1655, John Wallis publicou o que é conhecido agora como o produto de Wallis, também um produto infinito:[71]
Na década de 1660, o cientista inglês Isaac Newton e o matemático Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram o cálculo, que levou o desenvolvimento de diversas séries infinitas para aproximar π. O próprio Newton usou uma série de arco seno para computar uma aproximação de 15 dígitos de π em 1665 ou 1666, escrevendo "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos, não tendo nada para fazer no momento."[74]
Em 1671, James Gregory e, de forma independente, Leibniz em 1673, descobriram a expansão das séries de Taylor para arco tangente:[68][75][76]
Esta série, às vezes chamada de série de Gregory–Leibniz, igual a π4 quando avaliada com z = 1.[76] No entanto, ela converge de forma inconvenientemente lenta (isto é, se aproxima da resposta bem gradualmente), levando aproximadamente dez vezes mais termos para calcular cada dígito adicional.[77]
Em 1699, o matemático inglês Abraham Sharp usou a série de Gregory–Leibniz para para computar 71 dígitos de π, quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi estabelecido com um algoritmo poligonal.[78]
Em 1706 John Machin usou a série de Gregory–Leibniz para gerar um algoritmo que converge muito mais rapidamente:[3][79][80]
Machin alcançou 100 dígitos de π com esta fórmula.[81] Outros matemáticos criaram derivações da fórmula de Machin, que foram utilizadas para estabelecerem diversos recordes sucessivos para calcular dígitos de π.[81][82]
Isaac Newton alcançoua convergência da série de Gregory–Leibniz em 1684 (numa obra não publicada; outras pessoas descobriram o resultado de forma independente):[83]
Razão de convergência
Algumas séries infinitas para π convergem mais rápido que outras. Dado à escolha duas séries infinitas para π, matemáticos geralmente escolherão aquela que converge mais rápido, visto que uma convergência mais rápida reduz a quantidade de cálculos necessários para calcular π para uma dada precisão.[84][85] Uma série infinita simples para π é a série de Gregory–Leibniz:[86]
Como os termos desta série infinita são adicionados à soma, o total vai gradualmente se aproximando a π, e — com uma quantidade suficiente de números de termos — pode chegar tão perto de π quanto desejado. No entanto, ela converge lentamente — após 500 mil termos, ela produz apenas cinco dígitos decimais de π corretos.[87]
Uma série (publicada por Nilakantha no século XV) que converge mais rápido que a série de Gregory–Leibniz é:[88][89]
A seguinte tabela compara as taxas de convergência dessas duas séries:
Séries infinitas para π | Após 1.º termo | Após 2.º termo | Após 3.º termo | Após 4.º termo | Após 5.º termo | Converge para: |
---|---|---|---|---|---|---|
4,0000 | 2,6666 ... | 3,4666 ... | 2,8952 ... | 3,3396 ... | π = 3,1415 ... | |
3,0000 | 3,1666 ... | 3,1333 ... | 3,1452 ... | 3,1396 ... |
Após cinco termos, a soma da série de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de π, enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para calcular dígitos de π. Séries que convergem ainda mais rapidamente incluem a série de Machin e a série de Chudnovsky, sendo que a segunda produz 14 dígitos decimais por termo.[84][85]
Irracionalidade e transcendência
Nem todos os avanços relacionados a π tinham como objetivo aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basileia em 1735, encontrar o valor exato da soma dos inversos dos quadrados, ele estabeleceu uma conexão entre π e os números primos que posteriormente contribuiu para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann:[90]
O cientista suíço Johann Heinrich Lambert provou em 1768 que π é irracional, o que significa que não é igual a nenhuma razão entre dois inteiros. A prova de Lambert explorou uma representação em fração contínua da função tangente.[91] O matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que π2 também é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendente,[92] confirmando a conjetura feita por Legendre e Euler.[93][94] Posteriormente, Hilbert, Hurwitz e outros autores modificaram e simplificaram as provas.[94]
Adoção do símbolo π
Nas primeiras utilizações, a letra grega π era usada para denotar o semiperímetro (semiperipheria em latim) de uma circunferência[8] e era combinada numa razão com δ (para diâmetro ou semidiâmetro) ou ρ (para raio) para formar as constantes da circunferência.[95][96][97][98] (Até então, matemáticos utilizavam às vezes letras como c ou p.[99]) A primeira utilização registrada é "δ.π" de Oughtred, para expressar a razão do perímetro e o diâmetro nas edições de 1647 e posteriores de Clavis Mathematicae.[99][100] Semelhantemente, Barrow utilizou "" para representar a constante 3,14...,[101] enquanto que Gregory utilizou "" para representar 6,28...[97][102]
O primeiro uso da letra grega π sozinha para representar a razão do comprimento duma circunferência ao seu diâmetro foi pelo matemático galês William Jones em sua obra de 1706 Synopsis palmariorum matheseos.[3][103] A letra grega aparece na frase " Periphery (π)" na página 243, calculado para uma circunferência de raio um. No entanto, Jones escreve que sua equações para π são "do verdadeiramente engenhoso Sr. John Machin", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones.[99] A notação de Jones não foi imediatamente adotada pelos outros matemáticos, com a fração ainda sendo utilizada até 1767.[95][104]
Euler começou a usar uma única letra para a constante a partir do ensaio de 1727 Tentamen explicationis phaenomenorum aeris, por mais que ele utilizou π = 6,28..., a razão do perímetro pelo raio, neste e em algumas escritas posteriores.[105][106] Euler usou π = 3,14... pela primeira vez em sua obra de 1736 Mechanica,[107], e continuou em sua obra amplamente lida de 1748 Introductio in analysin infinitorum (ele escreveu: "por uma questão de brevidade, escreveremos esse número como π; assim, π é igual à metade do comprimento duma circunferência de raio 1").[108] Como Euler se correspondia fortemente com outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente, e a prática foi universalmente adotada posteriormente no mundo ocidental,[99] embora a definição ainda variasse entre 3,14... e 6,28... até 1761.[109]
Busca moderna por mais dígitos
Era da computação e algoritmos iterativos
O algoritmo iterativo de Gauss–Legendre:
Inicie Itere Então uma estimativa para π é dada por
O desenvolvimento de computadores na metade do século XX revolucionou novamente a busca por dígitos de π. Os matemáticos John Wrench e Levi Smith alcançaram 1 120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa.[110] Usando uma série infinita de arco tangente (arctg), uma equipe liderada por George Reitwiesner and John von Neumann atingiram 2 037 dígitos no mesmo ano com um cálculo que levou 70 horas de tempo de computação no computador ENIAC.[111][112] O recorde, sempre baseado em uma série de arco tangente, foi quebrado repetidamente (3 089 dígitos em 1955,[113] 7 480 dígitos em 1957; 10 mil dígitos em 1958; 100 mil dígitos em 1961) até que um milhão de dígitos fossem atingidos em 1973.[111]
Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez acelerou a habilidade de computar π. A primeira foi a descoberta de novos métodos iterativos para computar π, que eram muito mais rápidos que séries infinitas; a secunda é a invenção de algoritmos de multiplicação rápidos que poderiam rapidamente calcular grandes números.[114] Tais algoritmos são particularmente importantes nas computações modernas de π, pois a maioria do tempo dos computadores são voltados à multiplicação.[115] Eles incluem o algoritmo de Karatsuba, multiplicação de Toom–Cook, e métodos baseados na transformada rápida de Fourier.[116]
Os algoritmos iterativos foram publicados de forma independente em 1975–1976 pelo físico Eugene Salamin e o cientista Richard Brent.[117] Isso evita a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas das etapas anteriores como entradas, e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. Esta abordagem foi na realidade inventada mais de 160 anos antes, por Carl Friedrich Gauss, no qual agora é denominado o método da média aritmética-geométrica ou algoritmo de Gauss-Legendre.[117] Conforme foi modificado por Salamin e Brent, também é conhecido como algoritmo Brent-Salamin.
Após 1980 os algoritmos iterativos foram amplamente utilizados, porque eram mais rápidos que os algoritmos por séries infinitas: enquanto uma série infinita tipicamente aumentam o número de dígitos corretos aditivamente em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente multiplicam o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo Brent–Salamin dobra o número de dígitos a cada iteração. Em 1984, os irmãos John e Peter Borwein produziram um algoritmo iterativo que quadruplicava o número de dígitos a cada passo; e em 1987 um que aumentava o número de dígitos cinco vezes em cada passo.[118] Métodos iterativos foram utilizados pelo matemático japonês Yasumasa Kanada para registrar diversos recordes de dígitos de π computados entre 1995 e 2002.[119] A rápida convergência vem com um preço a ser pago: os algoritmos iterativos requere significantemente mais memória que séries infinitas.[119]
Motivos para computar π
Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo π, apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são os suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, pois esta é a precisão necessária para calcular o volume do universo observável com a precisão de um átomo. Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar erro de arredondamento computacional, Arndt conclui que umas poucas centenas de dígitos de π seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Apesar disso, pessoas trabalharam vigorosamente para computar milhares e milhões de dígitos.[120] Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes, e tais conquistas com π costumam ser manchetes em todo o mundo.[121][122]
O máximo de memorização alcançada por recordistas mundiais está em torno de 70 000 dígitos, embora o especialista da NASA Marc Rayman esclareça que, para as aplicações nos cálculos aeroespaciais da agência estadunidense, sejam usados 15 dígitos nas casas decimais (3,141592653589793), o que dá uma precisão estimada na circunferência atingida pela sonda Voyager I (48 bilhões de quilômetros arredondados, em 2022) com margem de erro na largura de um dedo mindinho.[123] Também há benefícios práticos, como testar supercomputadores, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão); e na própria matemática pura, prover dados para analisar a aleatoriedade dos dígitos de π.[124]
Séries de rápida convergência
Calculadoras modernas de π não usam exclusivamente algoritmos iterativos. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que eram tão rápidas quanto algoritmos iterativos, mas mais simples e utilizando menos memória.[119] Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivāsa Rāmānujan publicou dezenas de novas fórmulas inovadoras para π, notável pela sua elegância, profundidade matemática e rápida convergência.[125] Uma de suas fórmulas, baseada nas equações modulares, é
Essa série converge muito mais rápido que a maioria das séries de arco tangente, incluindo a fórmula de Machin.[126] Bill Gosper foi o primeiro a usá-la para avançar no cálculo de π, conseguindo um recorde de 17 milhões de dígitos em 1985.[127] A fórmula de Ramanujan antecipou os algoritmos modernos desenvolvidos pelos irmãos Borwein (Jonathan e Peter) e os irmãos Chudnovsky [en].[128] A fórmula de Chudnovsky desenvolvida em 1987 é
Ela produz aproximadamente 14 dígitos de π por termo[129] e tem sido usada para estabelecer diversos recordes de cálculo de π, incluindo o primeiro a bater um bilhão (109) de dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 10 trilhões (1013) de dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo,[130] e 100 trilhões de dígitos por Emma Haruka Iwao em 2022.[131] Para fórmulas similares, veja séries de Ramanujan–Sato.
Em 2006, o matemático Simon Plouffe usou o algoritmo PSLQ de relação de inteiros[nota 4] para gerar diversas novas fórmulas para π, conforme a seguinte predefinição:
onde q é eπ (constante de Gelfond), k é um número ímpar e a, b, c são certos números racionais que Plouffle computou.[132]
Métodos de Monte Carlo
Métodos de Monte Carlo, que avaliam os resultados de vários ensaios aleatórios, podem ser utilizados para criar uma aproximação de π.[133] A Agulha de Buffon é uma dessas técnicas: se uma agulha de comprimento ℓ é largada n vezes numa superfície na qual possui retas paralelas desenhadas separadas por t unidades de comprimento, e se x é a quantidade de vezes que a agulha fica sobre a retas (x > 0), então pode-se aproximar π com base nas contagens:[134]
Outro método de Monte Carlo para calcular π é desenhar uma circunferência inscrita num quadrado, e aleatoriamente colocar pontos no quadrado. A razão de pontos dentro da região interna da circunferência é aproximadamente igual a π/4.[135]
Utilizando probabilidade, também é possível calcular π começando com um passeio aleatório, gerado por uma sequência de cara ou coroa (justo): variáveis aleatórias independente Xk tais que Xk ∈ {−1,1} com mesmas probabilidades. O passeio aleatório associado é tal que, para cada n, Wn é extraído de uma distribuição binomial deslocada e escalonada. Conforme n varia, Wn define um processo estocástico (discreto). Então π pode ser calculado por[136]
Este método de Monte Carlo é independente de qualquer relação com circunferências, a sendo uma consequência do teorema central do limite, discutido em § Integral Gaussiana.
Estes métodos de Monte Carlo para aproximar π são bastante lentos comparado aos outros métodos, e não fornecem nenhuma informação sobre o número exato de dígitos obtidos. Portanto, eles nunca são utilizados para aproximar π quando velocidade ou precisão é desejado.[137]
Algoritmos de extração de dígitos
Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa do π. Eles são chamados de algoritmos de extração de dígitos [en], também conhecido como spigot algorithms (lit. "algoritmo de torneira"), que assim como a água gotejando de uma torneira, eles produzem dígitos individuais de π que não são reutilizados após serem calculados.[138][139] Esse método é um contraste em comparação às séries infinitas ou algoritmos iterativos, que retêm e utiliza todos os dígitos intermediários até o resultado final ser produzido.[138]
Os matemáticos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo de extração de dígitos simples em 1995.[139][140][141] A sua velocidade é comparável aos algoritmos de arco tangente, mas não é tão rápido quanto algoritmos iterativos.[140]
Outro algoritmo é a fórmula BBP, descoberta em 1995 por Simon Plouffe:[142][143]
Esta fórmula, diferente das anteriores, consegue produzir qualquer dígito hexadecimal de π sem ter que calcular os dígitos anteriores.[142] Dígitos binários individuais podem ser extraídos de dígitos hexadecimais individuais e dígitos octais podem ser extraídos de um ou dois dígitos hexadecimais. Uma aplicação importante dos algoritmos de extração de dígitos é validar novas declarações recordes de computação de π: após um novo recorde ser reivindicado, o resultado decimal é convertido em hexadecimal e, em seguida, um algoritmo de extração de dígitos é usado para calcular vários dígitos hexadecimais selecionados aleatoriamente perto do final; se corresponderem, isso fornece uma medida de confiança de que todo o cálculo está correto.[130]
Entre 1998 e 2000, o projeto de processamento distribuído Pihex utilizou a fórmula de Bellard (uma modificação da fórmula BBP) para computar o quadrilionésimo (1015.º) bit de π, que acabou sendo zero.[144] Em setembro de 2010, um empregado do Yahoo! utilizou o Hadoop da empresa em mil computadores da empresa durante um período de 23 dias para computar 256 bits de π no segundo quadrilionésimo (2×1015.º) bit, que também acabou sendo zero.[145]
Em 2022, Plouffle encontrou um algoritmo de base 10 para calcular dígitos de π.[146]
Grandezas que dependem de π
Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante as mais conhecidas a nível didático são:
Como a superfície da esfera é , também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física .
Cronologia do cálculo de π
Na tabela a seguir encontram-se listadas distintas precisões alcançadas no cálculo do valor de pi, permitindo ver a evolução ao longo do período histórico.[147]
Matemático | Ano | Casas Decimais |
Egípcios (Papiro de Rhind) | 1650 A.C. | 1 |
Arquimedes | 250 A.C. | 3 |
Zu Chongzhi | 480 D.C. | 7 |
Ghiyath al-Kashi | 1424 | 16 |
Ludolph van Ceulen | 1596 | 35 |
Georg von Vega | 1794 | 126 |
Gauss | 1824 | 200 |
William Shanks | 1874 | 527 |
Levi B. Smith, John W. Wrench | 1949 | 1 120 |
Daniel Shanks, John W. Wrench | 1961 | 100 265 |
Jean Guilloud, M. Bouyer | 1973 | 1 000 000 |
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura | 1982 | 16 777 206 |
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo | 1987 | 134 217 700 |
David e Gregory Chudnovsky | 1989 | 1 011 196 691 |
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1997 | 51 539 600 000 |
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1999 | 206 158 430 000 |
Yasumasa Kanada | 2002 | 1 241 100 000 000 |
Daisuke Takahashi | 2009 | 2 576 980 370 000[148] |
Fabrice Bellard | 2010 | 2 699 999 990 000[149] |
Shigeru Kondo & Alexander Yee | 2010 | 5 000 000 000 000[150] |
Shigeru Kondo & Alexander Yee | 2011 | 10 000 000 000 050[150] |
Shigeru Kondo | 2013 | 12 100 000 000 050[150] |
Emma Haruka Iwao | 2019 | 31 415 926 535 897[151] |
Ver também
- ↑ Em particular, π é conjeturado um número normal, o que implica um tipo específico de aleatoriedade estatística em seus dígitos em todas as bases.
- ↑ A integral precisa que Weierstrass utilizou era [13]
- ↑ O polinômio exibido é os primeiros termos da expansão em série de Taylor da função seno.
- ↑ PSLQ significa Partial Sum of Least Squares (soma parcial dos mínimos quadrados)
- ↑ Andrews, Askey & Roy 1999, p. 59.
- ↑ Gupta, R. C. (1992). «On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series». Ganita Bharati (em inglês). 14 (1–4): 68–71
- ↑ a b c Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos (em inglês). London: J. Wale. pp. 243, 263.
There are various other ways of finding the Lengths, or Areas of particular Curve Lines or Planes, which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to Circumference as 1 to
3.14159, &c. = π. This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.Reimpresso em Smith, David Eugene (1929). «William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio». A Source Book in Mathematics (em inglês). [S.l.]: McGraw–Hill. pp. 346–347
- ↑ «πe trillion digits of π». pi2e.ch (em inglês). Cópia arquivada em 6 de dezembro de 2016
- ↑ Haruka Iwao, Emma (14 de março de 2019). «Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud». Google Cloud Platform (em inglês). Consultado em 12 de abril de 2019. Cópia arquivada em 19 de outubro de 2019
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 17.
- ↑ Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997). «The quest for PI». The Mathematical Intelligencer (em inglês). 19 (1): 50–56. CiteSeerX 10.1.1.138.7085
. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/BF03024340
- ↑ a b Oughtred, William (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (em latim). [S.l.]: Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson.
δ.π :: semidiameter. semiperipheria
- ↑ «pi». Dicionário da Língua Portuguesa da Porto Editora. Infopédia. Consultado em 21 de fevereiro de 2024
- ↑ a b c Arndt & Haenel 2006, p. 8.
- ↑ Apostol, Tom (1967). Calculus (em inglês). 1 2.ª ed. [S.l.]: Wiley. p. 102.
From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length
- ↑ a b c Remmert 2012, p. 129.
- ↑ Remmert 2012, p. 148.
- ↑ Baltzer, Richard (1870). Die Elemente der Mathematik [The Elements of Mathematics] (em alemão). [S.l.]: Hirzel. p. 195. Cópia arquivada em 14 de setembro de 2016
- ↑ Landau, Edmund (1934). Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (em alemão). [S.l.]: Noordoff. p. 193
- ↑ a b Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis
(em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill. p. 183. ISBN 978-0-07-054235-8
- ↑ Rudin, Walter (1986). Real and complex analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill. p. 2
- ↑ Remmert 2012, p. 131.
- ↑ Ahlfors, Lars (1966). Complex analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill. p. 46
- ↑ Bourbaki, Nicolas (1981). Topologie generale (em francês). [S.l.]: Springer. §VIII.2
- ↑ Bourbaki, Nicolas (1979). Fonctions d'une variable réelle (em francês). [S.l.]: Springer. §II.3
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 5.
- ↑ Salikhov, V. (2008). «On the Irrationality Measure of pi». Russian Mathematical Surveys (em inglês). 53 (3): 570–572. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 22–23.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 22, 28–30.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 3.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 6.
- ↑ Posamentier & Lehmann 2004, p. 25.
- ↑ Eymard & Lafon 2004, p. 129.
- ↑ Beckmann, Peter (1989) [1974]. History of Pi (em inglês). [S.l.]: St. Martin's Press. p. 37. ISBN 978-0-88029-418-8
- ↑ Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery
(em inglês). [S.l.]: Gale Group. p. 185. ISBN 978-0-7876-3933-4. Consultado em 19 de dezembro de 2019. Cópia arquivada em 13 de dezembro de 2019
- ↑ a b Eymard & Lafon 2004, p. 78.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 33.
- ↑ a b Mollin, R. A. (1999). «Continued fraction gems». Nieuw Archief voor Wiskunde (em inglês). 17 (3): 383–405. MR 1743850
- ↑ Lange, L.J. (maio de 1999). «An Elegant Continued Fraction for π». The American Mathematical Monthly (em inglês). 106 (5): 456–458. JSTOR 2589152. doi:10.2307/2589152
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 240.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 242.
- ↑ Kennedy, E.S. (1978). «Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048». Journal for the History of Astronomy (em inglês). 9: 65. Bibcode:1978JHA.....9...65K. doi:10.1177/002182867800900106 Ptolemeu utilizava uma aproximação de três dígitos sexagesimais, e Alcaxi expandiu isso para nove dígitos; ver Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. Col: New Mathematical Library (em inglês). 13. Nova Iorque: Random House. p. 125. ISBN 978-0-88385-613-0. Cópia arquivada em 29 de novembro de 2016
- ↑ Abramson 2014, Section 8.5: Polar form of complex numbers.
- ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, p. 592.
- ↑ Maor, Eli (2009). E: The Story of a Number (em inglês). Princeton, NJ, EUA: Princeton University Press. p. 160. ISBN 978-0-691-14134-3
- ↑ Andrews, Askey & Roy 1999, p. 14.
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 167.
- ↑ Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid (em inglês). Waterloo, ON, Canadá: Wilfrid Laurier University Press. pp. 67–77, 165–166. ISBN 978-0-88920-324-2. Consultado em 5 de junho de 2013. Cópia arquivada em 29 de novembro de 2016
- ↑ Plofker, Kim (2009). Mathematics in India (em inglês). Princeton, NJ, EUA: Princeton University Press. p. 27. ISBN 978-0-691-12067-6
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 170.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 175, 205.
- ↑ Borwein, Jonathan M. (2014). «The life of π: from Archimedes to ENIAC and beyond». In: Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, through Baghdad: Surveys and studies in the ancient Greek and medieval Islamic mathematical sciences in honor of J. L. Berggren (em inglês). Heidelberg: Springer. pp. 531–561. ISBN 978-3-642-36735-9. MR 3203895. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 171.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 176.
- ↑ Boyer & Merzbach 1991, p. 168.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 15–16, 175, 184–186, 205.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 176–177.
- ↑ a b Boyer & Merzbach 1991, p. 202.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 177.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 178.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 179.
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 180.
- ↑ Azarian, Mohammad K. (2010). «al-Risāla al-muhītīyya: A Summary». Missouri Journal of Mathematical Sciences (em inglês). 22 (2): 64–85. doi:10.35834/mjms/1312233136
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). «Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi». MacTutor History of Mathematics archive (em inglês). Consultado em 11 de agosto de 2012. Arquivado do original em 12 de abril de 2011
- ↑ a b c Arndt & Haenel 2006, p. 182.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 182–183.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 183.
- ↑ Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (em latim). [S.l.: s.n.] Arquivado do original (PDF) em 1 de fevereiro de 2014 A avaliação dele foi que 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
- ↑ Brezinski, C. (2009). «Some pioneers of extrapolation methods». In: Bultheel, Adhemar; Cools, Ronald. The Birth of Numerical Analysis (em inglês). [S.l.]: World Scientific. pp. 1–22. ISBN 978-981-283-625-0. doi:10.1142/9789812836267_0001
- ↑ Yoder, Joella G. (1996). «Following in the footsteps of geometry: The mathematical world of Christiaan Huygens». De Zeventiende Eeuw (em inglês). 12: 83–93 – via Digitale Bibliotheek voor de Nederlandse Letteren
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 185–191.
- ↑ a b c Roy, Ranjan (1990). «The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha» (PDF). Mathematics Magazine (em inglês). 63 (5): 291–306. doi:10.1080/0025570X.1990.11977541
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 185–186.
- ↑ Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (em inglês). Princeton, NJ, EUA: Princeton University Press. p. 264. ISBN 978-0-691-13526-7
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 187.
- ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A060294 (Decimal expansion of Buffon's constant 2/Pi)». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation
- ↑ Vieta, Franciscus (1593). Variorum de rebus mathematicis responsorum (em latim). VIII. [S.l.: s.n.]
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 188. Newton citado por Arndt.
- ↑ Horvath, Miklos (1983). «On the Leibnizian quadrature of the circle.» (PDF). Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) (em inglês). 4: 75–83
- ↑ a b Eymard & Lafon 2004, pp. 53–54.
- ↑ Cooker, M.J. (2011). «Fast formulas for slowly convergent alternating series» (PDF). Mathematical Gazette (em inglês). 95 (533): 218–226. doi:10.1017/S0025557200002928. Consultado em 23 de fevereiro de 2023. Cópia arquivada (PDF) em 4 de maio de 2019
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 189.
- ↑ Tweddle, Ian (1991). «John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for π». Archive for History of Exact Sciences (em inglês). 42 (1): 1–14. JSTOR 41133896. doi:10.1007/BF00384331
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 192–193.
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, pp. 72–74.
- ↑ Lehmer, D. H. (1938). «On Arccotangent Relations for π» (PDF). American Mathematical Monthly (em inglês). 45 (10): 657–664 Published by: Mathematical Association of America. JSTOR 2302434. doi:10.1080/00029890.1938.11990873
- ↑ Roy, Ranjan (2021) [1.ª ed. 2011]. Series and Products in the Development of Mathematics (em inglês). 1 2.ª ed. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 215–216, 219–220
Newton, Isaac (1971). Whiteside, Derek Thomas, ed. The Mathematical Papers of Isaac Newton (em inglês). 4, 1674–1684. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 526–653
- ↑ a b Borwein, J.M.; Borwein, P.B. (1988). «Ramanujan and Pi». Scientific American (em inglês). 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. doi:10.1038/scientificamerican0288-112
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, pp. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 69–72.
- ↑ Borwein, J.M.; Borwein, P.B.; Dilcher, K. (1989). «Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions». American Mathematical Monthly (em inglês). 96 (8): 681–687. JSTOR 2324715. doi:10.2307/2324715. hdl:1959.13/1043679
- ↑ Arndt & Haenel 2006, Formula 16.10, p. 223.
- ↑ Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (em inglês) revisada ed. [S.l.]: Penguin. p. 35. ISBN 978-0-14-026149-3
- ↑ Posamentier & Lehmann 2004, p. 284.
- ↑ Lambert, Johann, «Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques», reimpresso em Berggren, Borwein & Borwein 1997, pp. 129–140
- ↑ Lindemann, F. (1882). «Über die Ludolph'sche Zahl». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (em alemão). 2: 679–682
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 196.
- ↑ a b Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1960) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (em inglês) 4.ª ed. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. p. 177 § 11.13–14
- ↑ a b Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations: Vol. II (em inglês). [S.l.]: Cosimo, Inc. pp. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1.
the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters [...] J.A. Segner [...] in 1767, he represented 3.14159... by δ:π, as did Oughtred more than a century earlier
- ↑ Schepler, H.C. (1950) "The Chronology of Pi" Mathematics Magazine. 23.
Parte 1. Jan/fev. (3): 165–170. doi:10.2307/3029284.
Parte 2. Mar/abr. (4): 216-228. doi:10.2307/3029832.
Parte 3. Mai/jun. (5): 279-283. doi:10.2307/3029000.
Ver p. 220: William Oughtred used the letter π to represent the periphery (that is, the circumference) of a circle. - ↑ a b Smith, David E. (1958). History of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation. p. 312. ISBN 978-0-486-20430-7
- ↑ Archibald, R.C. (1921). «Historical Notes on the Relation e−(π/2) = ii». The American Mathematical Monthly (em inglês). 28 (3): 116–121. JSTOR 2972388. doi:10.2307/2972388.
It is noticeable that these letters are never used separately, that is, π is not used for 'Semiperipheria'
- ↑ a b c d Arndt & Haenel 2006, p. 166.
- ↑ Ver, por exemplo, Oughtred, William (1648). Clavis Mathematicæ (em latim). London: Thomas Harper. p. 69
(Tradução em inglês: Oughtred, William (1694). Key of the Mathematics (em inglês). [S.l.]: J. Salusbury) - ↑ Barrow, Isaac (1860). «Lecture XXIV». In: Whewell, William. The mathematical works of Isaac Barrow (em latim). Harvard University. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University press. 381 páginas
- ↑ Gregorius, David (1695). «Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae» (PDF). Philosophical Transactions (em latim). 19 (231): 637–652. Bibcode:1695RSPT...19..637G. JSTOR 102382. doi:10.1098/rstl.1695.0114
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 165: Uma cópia do texto de Jones está em Berggren, Borwein & Borwein 1997, pp. 108–109.
- ↑ Segner, Joannes Andreas (1756). Cursus Mathematicus (em latim). [S.l.]: Halae Magdeburgicae. p. 282. Consultado em 15 de outubro de 2017. Cópia arquivada em 15 de outubro de 2017
- ↑ Euler, Leonhard (1727). «Tentamen explicationis phaenomenorum aeris» (PDF). Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (em latim). 2: 351. E007. Consultado em 15 de outubro de 2017. Cópia arquivada (PDF) em 1 de abril de 2016.
Sumatur pro ratione radii ad peripheriem, I : π
English translation by Ian Bruce Arquivado em 10 junho 2016 no Wayback Machine: "π is taken for the ratio of the radius to the periphery [note that in this work, Euler's π is double our π.]" - ↑ Euler, Leonhard (1747). Henry, Charles, ed. Lettres inédites d'Euler à d'Alembert. Col: Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (em francês). 19. [S.l.: s.n.] (publicado em 1886). p. 139. E858.
Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1
(Tradução em inglês: Cajori, Florian (1913). «History of the Exponential and Logarithmic Concepts». The American Mathematical Monthly. 20 (3): 75–84. JSTOR 2973441. doi:10.2307/2973441.Letting π be the circumference (!) of a circle of unit radius
) - ↑ Euler, Leonhard (1736). «Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1». Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis) (em latim). 1. [S.l.]: Academiae scientiarum Petropoli. p. 113. E015.
Denotet 1 : π rationem diametri ad peripheriam
(Tradução em inglês: «Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1» (PDF). Mechanica. Traduzido por Bruce, Ian. [S.l.: s.n.] Cópia arquivada (PDF) em 10 de junho de 2016.Let 1 : π denote the ratio of the diameter to the circumference
) - ↑ Euler, Leonhard (1707–1783) (1922). Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio (em latim). Lipsae: B.G. Teubneri. pp. 133–134. E101. Consultado em 15 de outubro de 2017. Cópia arquivada em 16 de outubro de 2017
- ↑ Segner, Johann Andreas von (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (em latim). [S.l.]: Renger. p. 374.
Si autem π notet peripheriam circuli, cuius diameter eſt 2
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 205.
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 197.
- ↑ Reitwiesner, George (1950). «An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places». Mathematical Tables and Other Aids to Computation (em inglês). 4 (29): 11–15. JSTOR 2002695. doi:10.2307/2002695
- ↑ Nicholson, J. C.; Jeenel, J. (1955). «Some comments on a NORC Computation of π». Math. Tabl. Aids. Comp. (em inglês). 9 (52): 162–164. JSTOR 2002052. doi:10.2307/2002052
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 15–17.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 131.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 132, 140.
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 87.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 111 (5 vezes); pp. 113–114 (4 vezes). Para detalhes dos algoritmos, ver Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (em inglês). [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-471-31515-5
- ↑ a b c Bailey, David H. (16 de maio de 2003). «Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation» (PDF) (em inglês). Consultado em 12 de abril de 2012. Cópia arquivada (PDF) em 15 de abril de 2012
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 17–19.
- ↑ Schudel, Matt (25 de março de 2009). «John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi». The Washington Post (em inglês). p. B5
- ↑ Connor, Steve (8 de janeiro de 2010). «The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?». The Independent (em inglês). London. Consultado em 14 de abril de 2012. Cópia arquivada em 2 de abril de 2012
- ↑ NASA/EDU (24 de outubro de 2022). «How Many Decimals of Pi Do We Really Need?». jpl.nasa.gov (em inglês). Jet Propulsion Laboratory (California Institute of Tecnology). Consultado em 13 de julho de 2024. Cópia arquivada em 29 de junho de 2024
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 18.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 103–104.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 104.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 104, 206.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 110–111.
- ↑ Eymard & Lafon 2004, p. 254.
- ↑ a b Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M. (2016). «15.2 Computational records». Pi: The Next Generation, A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (em inglês). Suiça: Springer International Publishing. p. 469. ISBN 978-3-319-32375-6. doi:10.1007/978-3-319-32377-0
- ↑ Cassel, David (11 de junho de 2022). «How Google's Emma Haruka Iwao Helped Set a New Record for Pi». The New Stack (em inglês)
- ↑ Plouffe, Simon (abril de 2006). «Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)» (PDF) (em inglês). Consultado em 10 de abril de 2009. Cópia arquivada (PDF) em 14 de janeiro de 2012
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 39.
- ↑ Ramaley, J.F. (outubro de 1969). «Buffon's Noodle Problem». The American Mathematical Monthly (em inglês). 76 (8): 916–918. JSTOR 2317945. doi:10.2307/2317945
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 39–40; Posamentier & Lehmann 2004, p. 105.
- ↑ Grünbaum, B. (1960). «Projection Constants». Transactions of the American Mathematical Society (em inglês). 95 (3): 451–465. doi:10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9
- ↑ Arndt & Haenel 2006, pp. 43; Posamentier & Lehmann 2004, pp. 105–108.
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, pp. 77–84.
- ↑ a b Gibbons, Jeremy (2006). «Unbounded spigot algorithms for the digits of pi» (PDF). The American Mathematical Monthly (em inglês). 113 (4): 318–328. JSTOR 27641917. MR 2211758. doi:10.2307/27641917
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, p. 77.
- ↑ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (março de 1995). «A spigot algorithm for the digits of Pi». American Mathematical Monthly (em inglês). 102 (3): 195–203. JSTOR 2975006. doi:10.2307/2975006
- ↑ a b Arndt & Haenel 2006, pp. 117, 126–128.
- ↑ Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; Plouffe, Simon (abril de 1997). «On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants» (PDF). Mathematics of Computation (em inglês). 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. CiteSeerX 10.1.1.55.3762
. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. Cópia arquivada (PDF) em 22 de julho de 2012
- ↑ Arndt & Haenel 2006, p. 20
Fórmula de Bellards em: Bellard, Fabrice. «A new formula to compute the nth binary digit of pi» (em inglês). Consultado em 27 de outubro de 2007. Cópia arquivada em 12 de setembro de 2007 - ↑ Palmer, Jason (16 de setembro de 2010). «Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit». BBC News (em inglês). Consultado em 26 de março de 2011. Cópia arquivada em 17 de março de 2011
- ↑ Plouffe, Simon (2022). «A formula for the nth decimal digit or binary of π and powers of π» (em inglês). arXiv:2201.12601
[math.NT]
- ↑ David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein & Simon Plouffe (1997). «The quest for pi» (PDF). Mathematical Intelligencer. 19 (1): 50–57
- ↑ «Our latest record was established as the followings»
- ↑ «Pi Computation Record»
- ↑ a b c «Number World»
- ↑ Mia, Neagle (14 de março de 2019). «A recipe for beating the record of most-calculated digits of pi». Google Blog. Consultado em 22 de março de 2019
Bibliografia
- Abramson, Jay (2014). Precalculus (em inglês). [S.l.]: OpenStax
- Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions (em inglês). Cambridge: University Press. ISBN 978-0-521-78988-2
- Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed (em inglês). Traduzido por Lischka, Catriona; Lischka, David. Nova Iorque, NY, EUA: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Consultado em 5 de junho de 2013
- Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). Pi: a Source Book (em inglês). Nova Iorque, NY, EUA: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20571-7
- Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics
(em inglês) 2.ª ed. Nova Jérsia, EUA: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8
- Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K.A. (1971). A Guide Book to Mathematics (em inglês). Frankfurt am Main, Alemanha: Verlag Harri Deutsch. ISBN 978-3-87144-095-3
- Dym, H.; McKean, H. P. (1972). Fourier series and integrals (em inglês). [S.l.]: Academic Press
- Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). The Number π (em inglês). Traduzido por Wilson, Stephen. Providence, RI, EUA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2. Tradução em inglês de Autour du nombre π (em francês). Paris. França: Hermann. 1999
- Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). π: A Biography of the World's Most Mysterious Number
(em inglês). Amherst, NY, EUA: Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8
- Remmert, Reinhold (2012). «5. What is π?». In: Heinz-Dieter Ebbinghaus; Hans Hermes; Friedrich Hirzebruch; Max Koecher; Klaus Mainzer; Jürgen Neukirch; Alexander Prestel; Reinhold Remmert. Numbers (em inglês). Nova Iorque, NY, EUA: Springer. pp. 123–153. ISBN 978-1-4612-1005-4. doi:10.1007/978-1-4612-1005-4
Leitura adicional
- Blatner, David (1999). The Joy of π. EUA: Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7
- Delahaye, Jean-Paul (1997). Le fascinant nombre π (em francês). Paris: Bibliothèque Pour la Science. ISBN 2-902918-25-9
Ligações externas
- Weisstein, Eric W. «Pi». MathWorld (em inglês)
- «Ferramenta de busca de π» (em inglês) 2 bilhões de dígitos pesquisáveis de π, e e √2