Em teoria dos números, um número real
é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo
, existirem inteiros
e
tais que:
![{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}},~~q>1\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83atiQz2s3nqi5nteOnDhDoDaOntG2atzFaAi4yqa5ota5a2a0oAzD)
Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.
É relativamente fácil provar que um número
de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:
Suponha
e escolha um inteiro positivo
tal que
. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros
e
tais que:
.
A primeira desigualdade prova que
o que equivale a dizer que
, então:
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-pd}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ajK0oNGQzNa3zNe0nDJDnDdBaqw5oqzEaNm2nAa3nga3zNGNyts1)
o que é uma contradição.
A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:
![{\displaystyle L=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ztGPnqdDygzCzAaPzNi5yjKOz2nAyqnCothAzqw2z2i4nDe1othC)
A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo
e defina:
![{\displaystyle p=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},~~~q=10^{n!}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AythAnDoNzAwQyjmNnqw1atrDoNrBytFAntG4ntw4yjCPajK3zjK3)
Temos então:
![{\displaystyle \left|L-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=\sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+j+1)!}\leq \sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+1)!-j}=10^{-(n+1)!}\sum _{j=0}^{\infty }10^{-j}<10^{-n!n}={\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aDsOajC4yqs3zNmNngrAa2dBoNnEyta2agdAatePaDwNnqo0njG4)
Como
, a primeira desigualdade é trivial e temos que
é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.
A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.
Lema : Se
é um número irracional raiz de um polinômio
de grau
positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real
positivo tal que, para toda escolha de inteiros
,
, vale:
.
Seja M, o valor máximo de
no intervalo
. Sejam
as raízes distintas de
que diferem de
. Fixe
satisfazendo:
![{\displaystyle A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oDdCyqsQnjG3oqrDaDm0ngnEoteNoNC1nDs5zNvEnqa2o2o0nAa1)
agora, suponha que existam inteiros
e
contradizendo o lema:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzNaQzjBEyje4atwPyta5oqzDa2rDatGOzNK4aNzDnDBCaAaQz2e2)
então
e
, e como
é irracional,
então
não é raiz de
.
Pelo teorema do valor médio, há um
entre
e
tal que
![{\displaystyle f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)f'(x_{0}),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82othAaDGQzNFDaDzCaNoOnjw4oAvFotoNnqa5ntdBoAwNoDlEoAvC)
Uma vez que
é raiz de
' mas
não é, é fácil ver que
e, conseqüentemente,
e, portanto :
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zge4aDdBajzEztC1nqrAygw4oNC3oNeOzjvFoDvAntG1zto2otiO)
é, então da forma
com cada
inteiro; logo podemos expressar
como:
![{\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85nDw4ngw4nDlEoArAzjiQyji0a2rDytoQzgeNajlFzja4o2iPoNJA)
Como
não é raiz de
, o número inteiro
e, portanto, temos:
![{\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nDCQagi4ntiNztdDoArCnAo5oDJDyqw0zNhEoAeQzDe0aNm4nAvD)
Posto que
pela definição de
, e
pela definição de
, temos:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zga5ytnCo2e0zDdDzgi1aDC3yqvFotdEnjlDoAo0oDJAaNBEnDs2)
O que é uma contradição e demonstra o lema.
Seja
um número de Liouville, já mostramos que
é irracional. Se
for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro
e um certo inteiro real positivo
tal que para todos os pares
e
, vale:
.
Fixe
um inteiro positivo tal que
. Define
. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros
e
tais que:
![{\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{(b^{r}b^{n})}}\leq {\frac {1}{(2^{r}b^{n})}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nqa0aDrEzNnCnqnEnqdByjC0ytBDnto2nqwPztsPoAaOnAsOnqoO)
uma contradição que demonstra o teorema.
Um resultado interessante é que o conjunto
formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.
Para mostrar isto, basta verificar que para todo
inteiro positivo, vale:
![{\displaystyle \mu ^{*}(\mathbb {L} \cap (-m,m))=0\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85a2e0o2aNzAs1aNlFztw5oNwOz2s5yjo1aDBAo2eNaDzCoNJCzDo0)
onde
é a medida exterior de Lebesgue na reta.
Pela definição de número de Liouville, temos que se
e
é um inteiro positivo, então existem
,
tais que:
.
em outras palavras:
.
com
ou, ainda:
Como
é inteiro e
, podemos escrever
.
logo:
.
e, portanto:
.
Uma vez que
, podemos estimar:
![{\displaystyle \mu ^{*}\left(\mathbb {L} \cap (-m,m)\right)\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}},~~\forall n>2\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zNmNaNJDyqe4z2hFa2rCoDnBoDm3ntnCntiPa2rEa2zBota4nDlB)
Do fato que
, temos que
tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.
Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.
Para cada
inteiro positivo defina:
.
Os conjuntos
são abertos e densos na reta real
, pois é um conjuto aberto que contém os racionais.
Mais ainda,
e disto segue que
é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.
Referências